Convergence faible-espace de Hilbert

[invitef1754d56]

Bonjour,

Je suis sur un DM permettant de découvrir par nous meme les convergence faible dans un espace de Hilbert et je bloque à une question.

Je vous résumé ce que j'ai prouver jusqu'a maintenant.

Pour rappel, voici le cadre du probleme et la definition de la convergence faible :

On est dans H, un espace de Hilbert separable de dimension infinie muni d'un produit scalaire.

la définition de la convergence faible d'une suite (un)n sur un espace de Hilbert H s'écrit:


J'ai tout d'abord montré que si la limite faible existe alors elle est unique.
J'ai ensuite montrer que la convergence "classique" de (fn) vers f dans H impliqué la convergence faible.
En raisonnant sur {ej} (une base hilbertienne de H), j'ai montré que la suite que la boule unité de H n'est pas compacte car la suite (ej) n'admet aucune sous suite convergente.

Ensuite j'ai montrer a travers quelques questions que pour toute suite bornée (fn), il existe une sous suite qui converge faiblement vers un element f de H.

On arrive enfin a la question qui me pose problème :

"Soit (fn) une suite qui converge faiblement vers f dans H. Comparer lim inf|fn| et |f| (les crochets | | representant la norme). Que se passe t'il si lim |fn|=|f|."

J'ai réussi la derniere partie qui est facile puisqu'on se rend compte en developpant |fn-f|² que la convergence faible + lim |fn|=|f| implique la convergence classique dans H.

Ce qui me pose problème c'est la partie en crochet. Je ne comprends pas ce que represente l'inf de la limite deja et je ne vois vraiment pas comment faire. Merci de m'aider !
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[invite9cf21bce]

Bonsoir.

Si est une suite réelle, alors désigne la limite (réelle ou infinie) de la suite (croissante) .

Elle existe donc toujours dans .

C'est la borne inférieure des valeurs d'adhérence (en incluant les éventuelles valeurs d'adhérence infinies) de .

Elle a la propriété suivante pour tout réel A :



Si je ne me trompe pas, on peut montrer que c'est le cas dans ton problème avec et .

Taar.

[invitef1754d56]

Merci beaucoup.

Ce qui me posais problème c'était surtout la définition de la cette limite inf.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je suis d'accord avec toi Taar. En fait, le truc, c'est qu'une limite n'est pas toujours définie (il y a des suites divergentes, par exemple (-1)^n). Cependant, pour les suites réellés, on peut définir un concept de "borné à l'infini": la limite inférieure (liminf) correspond à la borne inférieure de cet intervalle et la limite supérieure à sa borne sup (limsup), et ces deux quantités ont l'avantage d'être toujours définies.

Une autre façon équivalente de définir la liminf d'une suite (u_n) est la suivante: c'est la limite de la suite (v_n) définie par
v_n = inf {u_k, pour k>n }.
Une telle suite est évidemment croissante et donc, soit elle est bornée et donc convergente, soit elle ne l'est pas et tend vers + infini.

On appelle la limite de v_n la limite inférieure de la suite u_n.

Sinon, pour obtenir ton résultat, tu peux regarder <f_n, f>: Vers quoi ça tend ? Borne évidente ?

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rvz, de retour après plus de deux ans d'absence...

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