Besoin d'aide DM de maths

[invite6e02510d]

Bonjour a tous,
J'ai besoiin d'aide pour un DM de maths sur les polynômes
Énoncé :
Soit (Pn)n>=1 dans R[X] défini par P1=1 et P2=X
Pour tout n>=1 Pn+2=XPn+1-Pn
1) derertimer P3 P4 P5 P6 P7 P8
2) déterminer la parité de P selon celle de n, son degré en fonction de n et son coefficient dominant
3) calculer Pn (0) Pn(2) et Pn(-2)
4)a) montrer que pour tout t dans R sin(t)Pn(2cos(t))=sin(nt) (*)
b) établit que Pn est le seul polynôme de R vérifiant cette équation
5) a) pour n>=2 résoudre sur ]0,pi[ Pn(2cos(t))=0
b) en déduire que pour tout entier n>=2 Pn est scindé sur R à racine simples et situées sur ]-2,2[ . On factorisera Pn en produit de polynômes irréductibles sur R
6) a) En utilisant judicieusement la formule de Moivre montrer que
Pour tout n>=1
Pn=1/2^(n-1) * sum((-1)^k *(2k+1 parmis n)X^(n-2k-1) *(4-X²)^k) de k=0 a E((n-1)/2) (**)
b) en déduire sum(2k+1 par mis n) de k=0 a E((n-1)/2)
On pourra raisonner sur le coefficient dominent
7) a)calculer fn' fn'' gn' gn" avec fn=sin(nt) et gn(t)= sin(t)Pn(2cos(t))
b) en déduire que P satisfait l'équation (n²-1)Pn -3XPn' +(4-X²)Pn" =0
Je pense avoir réussi les 4 premières questions mais je suis bloqué à partir de la 5eme j'ai trouver pour la 5a que t=pi/n mais avec cette solution je trouve que Pn=X-pi/n mais je sais pas si c'est ça parce que il me semble que je doit trouver plusieurs racines d'après l'énoncé et après je ne voit pas du tout comment faire pour la question 6
Mais j'ai réussi la 7a) je pense
J'ai vraiment besoin de votre aide svp, toute indication est la bienvenue
Merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Les solutions non nulles de sont les modulo .

[invite6e02510d]

Bonjour, merci d'avoir répondu.
J'ai bien mis que les solutions sont pi/n mais je n'ai pas mis le modulo 2pi/n parce que on est sur ]0,pi[ mais je ne sais pas si l'expeession de Pn que je trouve est correcte.

[Seirios]

Dans le cas où , est toujours dans l'intervalle . Donc le modulo a son importance. En particulier, l'expression que tu donnes de ne peut pas être juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e02510d]

Ah d'accord seirios, dans ce cas, ça veut dire que Pn a n racines et est de la forme Pn=Π_(X-pi/n+2kpi/n), k=0 à n?

[Seirios]

Deux remarques : 1) n'est pas racine de , mais oui, 2) Vérifie bien que les racines que tu choisis pour écrire l'expression de sont deux à deux distinctes.

[invite6e02510d]

Oui oui c'est vrai désolé j'ai oublié le 2cos. Mais en fait c'est modulo pi que j'aurais du mettre pour avoir des racines deux à deux distinctes non?

[Seirios]

Vu l'énoncé, tu devrais trouver racines deux à deux distinctes, ce qui te permettra d'écrire comme un polynôme scindé à racines simples.