Géométrie non Euclidienne

[invite979fcc20]

salut

dans le cas d'une géométrie non euclidienne comment définit on :

les droite
les angles

quelle est la métrique d'une sphère !!

Merci
-----

[Médiat]

Bonjour,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Demi-plan_de_Poincar%C3%A9

Sur une sphère, les droites sont les grands cercles

[invite979fcc20]

oui je sais que c'est les grands cercles ce que je ne sais pas c'est pourquoi. d’où ma question c'est quoi la définition d'une droite. de plus je remarque dans ce cas que par deux point ne passe pas nécessairement une droite. en réalité pour la géo nn euclidienne je ne sais même pas par ou commencer.

[Médiat]

oui je sais que c'est les grands cercles ce que je ne sais pas c'est pourquoi.

Parce que cela marche (vérifie les axiomes)

de plus je remarque dans ce cas que par deux point ne passe pas nécessairement une droite. en réalité pour la géo nn euclidienne je ne sais même pas par ou commencer.

par deux points il passe toujours une droite (c'est à dire un grand cercle), à noter qu'un point pour cette géométrie est un couple de points (antipodiques) de la sphère

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite979fcc20]

^^" bon apparemment je n'y comprends rien parce que je n'y connais rien pourriez vous me montrer un cour ou un article qui traite de la sphère précisément. et vous parlez de quel axiomes les quatre d’Euclide je suppose (sans le cinquième)

[Médiat]

Bonjour,

Je parle de n'importe quel système d'axiomes de la géométrie elliptique (en partant de Hilbert, de Bachman, de Greenberg ou de qui vous voulez) :
http://forums.futura-sciences.com/ma...clidienne.html
http://gerard.nin.free.fr/math/2013/Geo/GeomIntro.pdf
http://irem.tlse.math.info.free.fr/@...r18_Martin.pdf
http://www.math.sunysb.edu/~bonnot/Axiomslist.pdf


Pour la géométrie hyperbolique, suivant que vous choisissez le modèle hyperboloïde, ou le disque de Poincaré, ou le demi-plan de Poincaré, ou le modèle de Klein les "définitions" des droites sont différentes (mais ce sont toujours des géodésiques).

[Amanuensis]

à noter qu'un point pour cette géométrie est un couple de points (antipodiques) de la sphère

??? Pour le plan projectif, oui. Mais il était question de la géométrie sur la sphère, non?

[invite979fcc20]

merci à vous.

[inviteed684306]

Salut à tous!
*** Langage inapproprié ***
Une métrique non euclidienne est soit pseudo-euclidienne (ou pseudo-riemannienne) soit de type lumière.

Pour une métrique pseudo euclidienne, on définit les angles. Mais la notion d'angle orienté perd son sens.
Pour une métrique de type lumière, la notion d'angle perd son sens, puisque un vecteur non nul peut être orthogonal à lui même.

La sphère se plonge dans . Sa métrique est donc la restriction (par pullback) de la métrique euclidienne de . On trouve:


Par ailleurs, la notion de droite se prolonge à des variétés abstraites muni d'une métrique en : géodésique. La géodésique entre de points est donc la courbe qui réalise la plus courbe (chemin) qui réalise la plus courte distance entre les deux points.
Dans le cas de la sphère , on montre justement que les géodésiques sont les morceaux des grand cercles.

Bon après-midi!

[Amanuensis]

La géodésique entre de points est donc la courbe qui réalise la plus courbe (chemin) qui réalise la plus courte distance entre les deux points.

Par exemple, en (pseudo-)métrique de Minkowski dx²+dy²+dz²-dt² en coordonnées (t, x, y, z), entre le point A=(0, 0, 0, 0) et le point B=(0, 2, 0, 0) le chemin ACB avec C=(t, 1, 0, 0) a pour longueur et est le plus court (longueur valant 0) pour t=1. Belle "géodésique", non? Où est l'erreur?

[inviteed684306]

Comment calcules-tu ce chemin ACB, alors que tu n'as aucune courbe?

Après calcul des coefficients de Christoffel de la connexion de Levi-civita associée à la métrique Pseudo-riemannienne, les géodésiques sont les courbes , solution de l'équation des géodésiques suivantes:



Après-ceci, on calcule la distance entre deux et points grâce à la formule:



On peut tracer une courbe sur la variété reliant A et B et calculer la longueur de ladite courbe entre les points A et B. Si de plus, cette courbe vérifie l'équation des géodésiques (i.e. son accélération est nulle), la longueur calculée est alors la distance AB sur la variété.

Bon après-midi!

[Amanuensis]

Comment calcules-tu ce chemin ACB, alors que tu n'as aucune courbe?

Deux segments de droites au sens de la structure affine.

[inviteed684306]

Je vois à présent ton truc!
Tu considères dans l'espace temps de Minkowski, la courbe: On calcule alors la longueur de la courbe entre A et C. On trouve: Et pour t=1, on a 0. Surprenant!

Bon après-midi!

[Amanuensis]

Surprenant!

Pas vraiment...

Mais où est l'erreur?

Manifestement le chemin affine entre A et B ne minimise pas la distance...

Pourtant les droites au sens de la structure affine devraient bien être les géodésiques au sens de la structure pseudo-riemannienne...

[invite417be55c]

Est-ce qu'il ne faut pas regarder du côté de la signature de la métrique ?

[Amanuensis]

Oui, d'une certaine manière (mais en signature ++-- ce serait pareil...).

L'erreur est dans :

"La géodésique entre de points est donc la courbe qui réalise la plus courbe (chemin) qui réalise la plus courte distance entre les deux points."

Cela ne s'applique pas en pseudo-riemannien, seulement quand la "métrique" est une métrique, c'est à dire définie positive (et encore, uniquement localement).

[invite417be55c]

En fait l'erreur est surtout de se dire :
- le chemin ACB est plus long que le chemin AB

Puisque quand on parle du chemin, surtout en se faisant un schéma, on raisonne en euclidien, alors qu'on n'a pas du tout une métrique euclidienne.

[Amanuensis]

En fait l'erreur est surtout de se dire :
- le chemin ACB est plus long que le chemin AB

Non, la notion de longueur d'un chemin spatial est bien définie. Et le chemin indiqué est spatial d'un bout à l'autre tant que t<1. Il n'y a pas d'erreur à considérer que "long" signifie ce que donne la métrique, et donc ce qui définit les géodésiques.

Le triangle ACB a trois côtés de genre spatial si t<1, et on a AB > AC + CB. Ce n'est donc pas une distance au sens mathématique du terme (et encore moins la distance euclidienne).

Ce qui est intéressant, c'est que A, B et C définisse un plan, que les trois intervalles sont de genre spatial, et pourtant la métrique induite sur ce plan n'est pas la métrique euclidienne.

[La définition d'une géodésique est l'extrémalisation (locale) de la longueur, et non la minimisation. Dans le cas considéré on ne peut pas trouver de chemin de longueur plus grande que 2 entre A et B. L'erreur est de parler de minimum.]

[invite417be55c]

Moi j'aurais dit que AC et CB était du genre lumière (ou isotrope).
Seul AB est purement spatial.

Et effectivement si on interprète l'intervalle comme le temps propre, le chemin parcouru maximise le temps propre, ce qui permet les formulations lagrangiennes de la relativité.

[Amanuensis]

Moi j'aurais dit que AC et CB était du genre lumière (ou isotrope).

Pas si on choisit t<1 (et cela suffit pour obtenir une longueur aussi petite qu'on veut). Aisé à vérifier.

Et effectivement si on interprète l'intervalle comme le temps propre, le chemin parcouru maximise le temps propre, ce qui permet les formulations lagrangiennes de la relativité.

Il n'est pas question ici de temps propre, les intervalles sont de genre spatial.

[Amanuensis]

Mais où la difficulté à admettre que les géodésiques se définissent par l'extrémalisation locale des longueurs de chemin et non pas uniquement la minimisation? (L'équation des géodésiques se contente d'annuler la dérivée seconde, elle n'exige rien sur le signe de la dérivée première. Les points selle sont même possible.) Et que l'exemple proposé est bien tel que la géodésique maximalise la longueur pour au moins un mode de variation du chemin?

[inviteafe88240]

Bonjour, il y a plus simple que la moindre action : le transport parallèle.

Bonne après midi.