Equations à coefficients constants

[inviteec9c3db3]

Bonjour,

Il semble qu'il y ait un certain résonnement que je ne comprend pas.
Par exemple, ceci est une équation non homogène à coefficients constants:

Capture2.PNG

D'après le corrigé du livre, il faut d'abord trouver une solution de l'équation homogène, puis une solution particulière. Ce que je ne comprend pas est la manière de procéder:

Capture.PNG

Questions:
1) pourquoi faut il trouver une équation caractéristique?
2) Comment trouve t'on l'équation caractéristique de mainère générale?
3) Puis je avoir des explications quant à l'équation homogène associée (comment la trouve t-on)?
4) Pourquoi cherche t-on une solution particulière de la forme A*exp(x)?

Merci pour votre aide.
-----

[Médiat]

1) pourquoi faut il trouver une équation caractéristique?
2) Comment trouve t'on l'équation caractéristique de mainère générale?
3) Puis je avoir des explications quant à l'équation homogène associée (comment la trouve t-on)?
4) Pourquoi cherche t-on une solution particulière de la forme A*exp(x)?

1) Il ne "faut pas", il se trouve que cette méthode fonctionne pour ce type d'équation différentielle (linéaire, homogène, à coefficients constants, avec ou sans second membre).
2) Qu'appelez-vous "cas général" ?
3) En enlevant le second membre
4) Parce que cela marche (et c'est souvent le cas avec l'exponentielle, mais c'est plutôt ), sinon on peut utiliser la variation des constantes, qui marche souvent.

[gg0]

Bonjour.

Pour agir intelligemment, on commence par apprendre les méthodes ("cours") avant de les mettre en œuvre dans des exercices d'application. Manifestement, il te reste à lire et comprendre le cours. La plupart des réponses à tes questions y sont.

Cordialement.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

1) pourquoi faut il trouver une équation caractéristique?
2) Comment trouve t'on l'équation caractéristique de mainère générale?
3) Puis je avoir des explications quant à l'équation homogène associée (comment la trouve t-on)?
4) Pourquoi cherche t-on une solution particulière de la forme A*exp(x)?

Bonsoir. Pour compléter les réponses données:

1. Ce n'est pas une obligation, mais une manière de faire. Il est possible de démontrer qu'il existe un isomorphisme entre les espaces vectoriels des solutions des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants et les espaces vectoriels des solutions des équations polynomiales correspondantes.

2. Dans le cas des équations différentielles linéaires homogènes (et à coefficients constants), il suffit de faire correspondre les termes à respectivement les monômes . Les coefficients sont quant-à-eux les mêmes.

En général:

3. Il a été répondu à cette question.

4. Cela aussi se démontre. Si me souvenirs sont bons, si le terme non-homogène est une polynôme-exponentielle (le produit d'un polynôme avec une exponentielle), alors il y aura une solution particulière qui sera une polynôme-exponentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]