Méthode des moindres carres

[invite58521e4e]

Bonjour,

J'ai un problème avec la méthode des moindres carrés.
Pour moi cette méthode permet à partir d'un nuage de points de trouver l'équation de la droite qui ajuste au mieux l'ensemble des points du nuage.
Mais quand j'utilise Excel pour utiliser cette méthode,il ya des choses qui me paraissent étrange.

J'ai une liste de points alignés et 2 pts qui ne sont pas alignés.
par exple 2 et 8 alors que tous les autres sont en 5 (num de ligne).
En fonction de la position en colonne des 2 pts qui diffère, la droite obtenue n'est pas la même.
Plus les 2 pts sont proches des extremités plus la droite d'ajustement est inclinée. Si ils sont proches du centre de la droite (je parle du num de col) alors la droite d'ajustement est quasi horizontale.

Quelqu'un aurait une idée?
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[Evil.Saien]

Est-ce que par hasard un paramètre est réglable dans excel ? Par exemple, tu sait si la valeur de reférence est la moyenne ou la médiane ?
Comment excel calcule la médiane ? On sait jamais, ca se trouve il prend la valeur du milieu est éspérant que tu les ai au préalable classées !

[invite37968ad1]

Bonjour,

Le calcul de la droite d'ajustement par la méthode des moindre carrés se fait toujours avec la moyenne (jamais avec la médiane)

Peux tu nous donner ton tableau de valeurs avant et après modification?(j'ai du mal à comprendre ton histoire de numéro de colonne)
Ainsi, nous testerons nous même et verrons ton problème.

[invite58521e4e]

Y : -80 -81 -82 -83 -84 -85 -86 -87 -88 -89 -90 -91
X : 52 57 57 57 57 57 57 57 57 57 57 62

voilà une première série si je rentre maintenant la série suivante je n'ai pas le même résultat

Y : -80 -81 -82 -83 -84 -85 -86 -87 -88 -89 -90 -91
X : 57 57 57 57 57 52 62 57 57 57 57 57

avec la 2ième série j'ai une droite quasi horizontale alors qu'avec la 1ière elle est inclinée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37968ad1]

Je commence à comprendre. Et le résultat que tu obtiens est normal

Par le calcul.
Entre ton premier nuage et ton second nuage
la variance de X et sa moyenne ne change pas, la variance de Y et sa moyenne ne change pas
Seule va changer la covariance
somme (Xi - Mx)(Yi-My)
Dans ton premier exemple tous les Yi-My sont nuls sauf pour x = -80 et x = -91 valeurs très éloignées de la moyenne, donc un produit (xi-Mx)(Yi-My) grand.
Dans ton deuxième exemple, les Yi-My sont nuls sauf pour x = -84 et x = -85 valeur très proches de la moyenne, donc un produit (xi-Mx)(Yi-My) sensiblement plus petit.
Comme la pente de ta droite est donnée par Cov(X,Y)/Var(X), tu vois que dans ton second cas, la pente sera plus faible que dans le premier cas.

Par le raisonnement.
La droite des moindres carrés passera dans tes deux exemples par le même point, le point moyen. Cette droite cherche à minimiser le carré des distances "verticales" entre tes points et la droite en modifiant la pente de ta droite.
Si les points "accidents " sont situés près du point moyen, cela ne sert à rien de modifier la pente de la droite car cela ne changera pas beaucoup la distance entre les points "accidents" et les points de ta droite, en revanche, ça éloignera de manière significative les points "normaux" de la droite. On a donc intérêt à changer peu la pente de la droite.
Si les points "accidents" sont situés loin du point moyen, un changement de pente rapprochera significativement les points "accidents" de la droite. Les points "normaux" s'éloigneront de la droite de manière moindre. On a donc intérêt à changer davantage la pente de la droite.

[invite58521e4e]

Merci pour ces réponses.
J'arrive bien à comprendre par la technique du calcul (la covariance est différente donc le coeef directeur est différent) mais j'ai encore du mal à comprendre le raisonnement. Je ne vois pas trop ce qu'est le point moyen.

[invite37968ad1]

La droite de régression passe toujours par le point moyen, celui obtenu en prenant pour abscisse la moyenne des abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées.

Dans ton exemple le point moyen a pour coordonnées (-85,5 ; 57)

P.S. tu n'aurais pas confondu les X et les Y dans ton exemple?

[invite58521e4e]

C'est la question que je me posais.
Je crois que oui. Parcqu'en fait je travaille avec un repère qui correspond à une image

--------------------------> X
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y