Exercice CG

[invite5b372a80]

Salut à tous,
Voici l'exo sur lequel je bute depuis 2 jours maintenant. Pour info, il est tiré du Concours Général 1999 :

Résoudre dans l'équation suivante :

Déjà, on peut remarquer que est le terme suivant de la somme. Ensuite, j'ai tenté tout pleins de trucs avec des logs, mais rien n'a abouti... Ensuite, j'ai remarqué le changement d'indice k allant de 0 à n-1. Ca donne k+3 pour terme général, mais je doute toutefois que cette "symétrie puisse être utile (en tout cas je n'ai rien vu) .
Ensuite, je pense que l'ensemble des solutions est fini et est réduit à seulement quelques n, mais attention, cette remarque est à prendre avec des pincettes, car je ne parviens pas à le démontrer.
Ensuite, j'ai remarqué que n ne peut pas être de la forme 4k ou 4k+1
(ab absurdo, impair tandis la somme possèdera 2k termes impairs donc la somme sera paire / même raisonnement pour n=4k+1).
Enfin, on remarque que n=2 et n=3 sont solutions.

Je précise que je ne veux surtout pas de la solution. Simplement des indications !!

Merci à ceux qui auront pris la peine de me lire.

Cdt, Léo.
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[invite5b372a80]

Quelqu'un svp ?

[inviteb3412e7c]

Bon, je sais pas si ça peut t'aider, mais en regardant ce que vaut chaque terme de ton équation pour n petit ça peut peut-être te donner une idée
De plus, ton équation étant en n, il est peut-être judicieux de faire intervenir une récurrence

[invite5b372a80]

Ben par exemple, pour n=5, les termes valent : et , mais bon, rien ne me saute particulièrement aux yeux...
Par contre, je vous remercie pour l'idée de la récurrence !! Je vais tenter à partir de n=4, en prenant pour prop de rec : l'équation est fausse. Je vais voir ce que ça donne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5b372a80]

Oui !!! Je pense avoir réussi ! Voici ce que j'ai fait :

 Cliquez pour afficher

Soit la proposition

J'initialise à n=4. On a et Donc, est vraie.

Hérédité:

Supposons qu'il existe tel que soit vraie.
On résout . On obtient donc . Ainsi, on majore par . Donc
On applique l'hypothèse de récurrence sur et on obtient ainsi :
.

Etudions maintenant la différence .
Alors là, j'ai utilisé le binôme de Newton. .
On obtient .
La somme est positive car les termes sont positifs. Il nous faut donc le signe de
Pour ce faire, j'ai posé .
On a . Donc, il nous faut pour .
On calcule . On obtient , et alors là, je n'arrive pas à montrer que cette dérivée est positive... En tout cas, c'est bien le cas, car j'ai tracé la fonction à l'aide d'un logiciel (une démonstration serait la bienvenue).
La dérivée est positive donc f est croissante sur . Or, . Donc, comme est croissante, on obtient pour tout , .
Donc, (car la somme n'est jamais nulle).
Donc .
Donc, d'après , on obtient . Donc, est vraie.

Donc, .

Les uniques n qui marchent sont et .

Pfiou !! Voilà !!
Comme vous avez pu le constater, mon raisonnement est très lourd, donc si vous trouvez d'autres méthodes, ou même des moyens de simplifier mon raisonnement, je suis preneur !!
Par contre, je vous avoue que ça m'énerve de ne pas réussir à démontrer .

[invite57a1e779]

Il nous faut donc le signe de

On transforme l'expression :



et on étudie les variations de la fonction définie par :



ce qui doit être plus pratique parce que est relativement simple :

.

En rendant au même dénominateur (positif) le numérateur sera un polynôme du second degré dont le signe est facile à déterminer.

[invite5b372a80]

Merci beaucoup !! Je savais que cette idée de passer par le binôme n'était pas la bonne...

[inviteb3412e7c]

Bravo! La démonstration tient la route!