transformée de fourier

[pizzouille]

Bonsoir,





Comment montrer que est ce classe sur en sachant que est de classe et que la suite converge uniformement sur tout intervalle , a>0

Cordialement,
Pizzouille
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[God's Breath]

Bonjour,

Un théorème célèbre assure que, la suite convergeant simplement vers et la suite convergeant uniformément sur , alors est de classe sur avec .

[pizzouille]

Le rapport entre la fait que la suite soit de classe , et que le suite converge simplement vers

[God's Breath]

La convergence simple converge simplement vers vient de la définition de la transformée de Fourier et n'a rien à voir avec le fait que soit de classe , propriété qui découle de ce que la fonction exponentielle est de classe et de ce que l'intervalle est compact.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pizzouille]

Le problème c'est que je dois en déduire de ce que j'ai fais lors de la question precedente et je ne n'ai pas de cours sur la tranformee de fourier mais mon cours est sur la convergence monotone, la convergence dominee, la continuite, la derivabilite

[God's Breath]

Je reprends le schéma de la démonstration.

1. La suite converge simplement vers : c'est la définition de l'intégrale généralisée qui définit .

2. La fonction est de classe sur : il suffit d'utiliser les résultats sur les intégrales dépendant d'un paramètre dans le cas où l'intervalle d'intégration est compact.

3. La suite converge uniformément sur : c'est le seul point un peu délicat puisqu'il faut exhiber la limite et majorer uniformément la différence .

Ce plan d'étude d'une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre fonctionne dans beaucoup de situations et rend de grands services.

[pizzouille]

j'ai déjà montré que g(n) est de classe C^1 et que la suite g'(n) converge uniformément sur tout intervalle [a,infini[ (c'était la question precedente)on me demande juste d'en deduire.
Je ne vais pas le redemontre

je n'ai juste besoin de 1.

[God's Breath]

Il n'y a rien à faire ou presque : c'est la définition de qui est en jeu.

[pizzouille]

je dois montrer que la transformée de fourier est deux fois dérivable sur ]0, infini[.

Comme elle est ce classe classe , elle est une fois dérivable.
Est ce que si je montre que est dérivable, alors elle est deux fois dérivable?

[God's Breath]

OUi, il suffit de recommencer le travail avec ...

[pizzouille]

par contre je dois montrer que vérifie l'équation différentielle

[God's Breath]

Vérifie que est nulle.

[pizzouille]

Je suis bloqué dans les calculs.

Je procède par intégration par parties :

[God's Breath]

Sans intégration par parties :



et il y a comme un petit problème...

Le calcul demandé ne serait-il pas celui de ?

[pizzouille]

Il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé

[God's Breath]

Alros



et cette dernière intégrale n'existe pas, ce qui signifie que l'une des intégrales utilisées pour définir ou n'existe pas.

Il faut revoir la copie.

[azizovsky]

Bonjour , je crois que le problème est lié au bornes d'intégration [-l,l] ,puisque la fonction f(t) est paire

g(x)=intég[f(t).exp(-itx) dx] de -l à l

g(x)=2.intég[f(t)exp-itx dx] de 0 à l

avec un changement de variable pi.x=l.y , y=pi.x/l

si la fonction g(x) est définie sur [-l,l] alors la fonction g(y) est définie sur [-pi,pi] avec la parité sur [0,pi]

[azizovsky]

ou bien en général,l'intérvalle [-l,l] peut être remplacé par un intérvalle [a,a+2l] arbitraire de longueur 2l.

[Tryss]

Si jamais la question est de montrer que pour alors il n'y a pas d'erreur d'énoncé (c'est juste).

Avec un cours sur la transformée de Fourier au sens des distributions ça se fait en trois lignes (en choisissant la transformée de Fourier avec les coefficients sympathiques):



Donc

Ainsi pour

Sans ce cours, c'est plus embétant

[azizovsky]

salut , on'a . c'est la définition même de l'intégral de Fourier ,puisque f(t) est paire ,on peut le définir de -oo à +oo cà d sur IR en dévison par 2.

[God's Breath]

je ne n'ai pas de cours sur la tranformee de fourier

Je reprends.

La fonction est parfaitement définie. On intègre une fonction de deux variables et qui est, sans aucun problème, de classe dans tout le plan et l'intégrale est prise sur le compact donc le cours sur la dérivation des intégrales à paramètre fournit immédiatement le caractère de avec :



Ensuite vient le problème de la convergence simple des suites , et .

Tout d'abord :



provient de l'existence de la dernière intégrale comme intégrale d'une fonction de ; ensuite :



provient de l'existence de la dernière intégrale comme intégrale généralisée sur d'une fonction qui n'appartient pas à ; on sort du cadre de l'intégrale de Lebesgue. Enfin :



n'a aucun sens puisque la dernière intégrale n'existe pas, ni en tant qu'intégrale d'une fonction de , ni en tant qu'intégrale généralisée.

Il faut d'abord transformer l'expression de et faire apparaître l'intégrale d'une fonction de pour pouvoir déterminer la limite.

[pizzouille]

Voici l'énoncé de l'exercice

(2) Déduire de (1) que est de classe sur , et donner une formule pour . Montrer que (j'ai procédé par changement de variable)

(3) Montrer que est deux fois dérivable sur et y vérifie l'équation différentielle

(4) Montrer que

[God's Breath]

Au vu de cet énoncé, après la transformation de , il ne faut plus utiliser la suite .

Il faut utiliser un théorème de convergence dominée pour calculer la dérivée sous la forme :



parce que désormais toutes les fonctions à intégrer vont être dans , contrairement à ce qui s'est passé pour le calcul initial de .

[pizzouille]

On a

[God's Breath]

Si on peut le justifier à l'aide du cours...

[pizzouille]

justifier quoi?

[God's Breath]

Que la dérivation sous l'intégrale est possible.

[pizzouille]

pour l'equation differentielle on doit utiliser les integrales avec le changement de variable?