dvlt en serie entière

[Minialoe67]

Bonjour

je commence à faire des exercices de developpement de fonction en serie entière et j'ai des soucis sur les méthodes à appliquer.
Par exemple, en 0,
pour f(x)=sh(5x)/sh(x), on dit qu'en 0, c'est prolongeable par 5. Mais pour le DSE(0), on transforme en exponentielle? Et après on fait quoi?
pour (1+x+x²+x³)^-3, on décompose d'abord en élément simple? puisque (1+x+x²+x³)=(x+1)(x²+1)²?
pour racine((1+X)/(1-x)), j'ai vu la réponse ici http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?idSect=134 mais je ne comprend pas du tout d'où sortent les formules...

merci de m'aider et de me donner des "trucs" pour réussir
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[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :
1)Pour ce qui de la première question
Premièrement remplacez sh par l"exponentielle puit simplifier aux maximum cette expression vous obtenez un quotient .
Deuxièmement Effectuez le changement de variable .
Troisièmement:Écrire ce quotient en élément de fraction partielle simple .
Quatrièmement Puit développer chaque élément , pour ce qui est fraction simple faut les ramener en sous formes de série géométrique si possible après sommer .

Cordialement

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour le premier, comme dit topmath, il suffit d'exprimer en fonction de pour obtenir une combinaison linéaire d'exponentielles qui se développe immédiatement en série entière.

Pour les autres, c'est le même principe : exprimer la fonction à développer comme combinaison linéaire de fonctions plus simples.



Partant du développement en série de: , on obtient par dérivation, celui de : , puis celui de :

, donc celui de : .

On recommence pour obtenir le développement de :

puis celui de : .

On obtient enfin le développement de , qui fournit les développements de , et et, par combinaison linéaire, le développement voulu.


Pour , c'est la même chose : .

On connaît (ou on détermine... ) le développement de , on en déduit celui de puis celui de que l'on cherche à calculer.

[Minialoe67]

Merci beaucoup!

Par contre j'ai un peu la mémoire courte et j'ai oublié comment on décompose en élément simple quand on a des pôles multiples d'ordre supérieur à 2!

Par ex pour la fonction avec le sh,
on trouve, en fonction de t, (t¹⁰-1)/(t⁴(t²-1))=(a₁t+a₂)/t⁴ + (b₁t+b₂)/t³ + (c₁t+c₂)/t² + (d₁t+d₂)/t + e/t-1 + f/t+1

déjà e=f=0, et après comment on fait de nouveau pour les autres lettres? sachant que la fonction est paire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

tu n'as pas besoin d'autant de coefs



pour le je fais comme ça :

je multiplie à gauche et à droite par puis je prends

donc

ensuite je soustrais à gauche et à droite le terme (et à gauche je simplifie)

ça me donne

ici dans la simplification ça a zappé le ce qui veut dire que

[gg0]

Heu ... c'est plus simple :

(t¹⁰-1)/(t⁴(t²-1)) = P(t)+u/t+v/t²+w/t³+x/t⁴+y/(t-1)+z/(t+1)

en effet, (a₁t+a₂)/t⁴ =a₁/t³+a₂/t⁴
Et P est un polynôme de degré évident. Tu peux l'obtenir de façon simple par division.
Autre idée : Comme c'est une fonction de t², on peut commencer par poser T=t², puis décomposer (T5-1)/(T²(T-1)) en éléments simples (c'est rapide, puis remplacer T. Il restera un terme en k/(t²-1) à décomposer, ce qui est facile.

Cordialement.

[acx01b]

et si tu t'autorises les pôles complexes, cette méthode est générale et marche tout le temps

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Merci beaucoup!

Par contre j'ai un peu la mémoire courte et j'ai oublié comment on décompose en élément simple quand on a des pôles multiples d'ordre supérieur à 2!

Par ex pour la fonction avec le sh,
on trouve, en fonction de t, (t¹⁰-1)/(t⁴(t²-1))=(a₁t+a₂)/t⁴ + (b₁t+b₂)/t³ + (c₁t+c₂)/t² + (d₁t+d₂)/t + e/t-1 + f/t+1

déjà e=f=0, et après comment on fait de nouveau pour les autres lettres? sachant que la fonction est paire...

Le plus facile à mon avis pour faire cette décomposition de , procèdent maintenant à la Division Euclidienne des polynômes du quotient suivant

en remplace dans :



ce qui donne automatiquement sans ce soucier du calcule d'artifice des coefficients :



Amicalement

[invite57a1e779]

C'est ce que j'ai dit dans mon message #3 : est combinaison d'exponentielle.

D'ailleurs, si les autres intervenants avaient décomposé la fraction rationnelle en éléments simples, ils se seraient bien évidemment aperçus que 1 et -1 n'étaient pas des pôles.

Quelques notions de trigonométrie permettent de conclure rapidement que est combinaison de cosinus hyperboliques.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Bonjour,
Pour le premier, comme dit topmath, il suffit d'exprimer en fonction de pour obtenir une combinaison linéaire d'exponentielles qui se développe immédiatement en série entière.
Pour les autres, c'est le même principe : exprimer la fonction à développer comme combinaison linéaire de fonctions plus simples.

.
Effectivement vous l'avez évoquer dans le message #3 ; par contre la méthode qui m'attirer l'attention vraiment c’était très originale (en rouge) :

Bonjour,

C'est en multipliant le numérateur ainsi que la dénominateur de ce quotient par pour ce qui est de la question deux 2) de l'énoncé .


Cordialement

[Minialoe67]

merci beaucoup! ça m'aide!

[invite57a1e779]

c’était très original

En fait, c'est la même idée dans les deux cas.
Pour les sinus hyperboliques, on remarque que la fraction est la somme des termes d'une suite géométrique



alors que dans l'autre développement on remplace la somme des termes de la suite géométrique du dénominateur par sa valeur sous forme de fraction. Le troisième est de la même eau, avec la nécessité supplémentaire de simplifier l'expression sous le radical.

[Minialoe67]

Si je ne me suis pas trompée pour sh(5x)/sh(x), on trouve:
f(x)= t⁴+t²+1+1/t²+1/t⁴
=e^4x+e^2x+1+e^-4x+e^-2x
=Σ(4x)ⁿ/n! + Σ(2x)ⁿ/n! + Σ(-4x)ⁿ/n!+ Σ(-2x)ⁿ/n! +1

(ce qui est à priori en accord avec ce que God's Breath a dit:"une combinaison linéaire d'exponentielles")

Ah: je viens de voir votre corrigé et c'est OK. merci

[Minialoe67]

Pour pour (1+x+x2+x3)-3, j'ai suivi votre méthode.
trouve-t-on bien :
Σ(1/2)(n+1)(n+2)x⁴ⁿ*[1-3x+3x²-x³] ?

Par contre
comment faites vous pour trouver aussi rapidement (1+x+x²+x³)^-3=((1-x)/(1-x⁴))³?

[invite57a1e779]

Je reconnais dans 1+x+x²+x³ la somme des termes d'une suite géométrique...

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Autocorrection :

Zut !!! une petite erreur de frappe dans le message #8 je corrige c'est est non ce qui va influer négativement sur le résultat :

Bonjour à tous :

Le plus facile à mon avis pour faire cette décomposition de , procèdent maintenant à la Division Euclidienne des polynômes du quotient suivant

en remplace dans :



ce qui donne automatiquement sans ce soucier du calcule d'artifice des coefficients :



Amicalement

Par contre ce que je constate c'est de considérer la repense de God's Breath pour la correction et non la mienne à cause de cette erreur :

En fait, c'est la même idée dans les deux cas.
Pour les sinus hyperboliques, on remarque que la fraction est la somme des termes d'une suite géométrique



alors que dans l'autre développement on remplace la somme des termes de la suite géométrique du dénominateur par sa valeur sous forme de fraction. Le troisième est de la même eau, avec la nécessité supplémentaire de simplifier l'expression sous le radical.

Amicalement

[Minialoe67]

Je reconnais dans 1+x+x²+x³ la somme des termes d'une suite géométrique...

Je ne vous suis pas... C'est la suite géométrique de raison x qui varie de 0 à 3 mais après... ?
Et on sait que la somme de n=0 à l'infini de x^n vaut 1/(1-x)...

[invite57a1e779]

on sait que la somme de n=0 à l'infini de x^n vaut 1/(1-x)

Comment lesait-on ?