sg de GLn et sous-variété

[invite34b13e1b]

Bonjour,

Il est bien connu que tout sous groupe fermé de GLn(R) est une sous-variété. Les ouverts sont aussi bien sur des sous-variétés.
Je cherche un exemple de sous groupe de GLn(R) qui ne soit pas une sous-variété.

Merci de votre aide !
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[invitea07f6506]

Premier fait : pour tout nombre irrationnel, le sous-ensemble est dense dans . Il n'est ni ouvert (car dénombrable), ni fermé (car dénombrable et distinct de l'espace tout entier). C'est donc un sous-groupe du groupe de Lie qui n'est pas une sous-variété.

Pour avoir un exemple dans un sous-groupe de matrices réelles, il suffit de plonger dans ce groupe de matrice, ce qui est possible dès que (il y a des contre-exemples similaire pour , par exemple en regardant le sous-groupe ). Cela est possible par exemple en réalisant comme un groupe de rotation autour d'un sous-espace de codimension 2.

Avantage de cette technique : elle donne aussi un exemple de sous-groupe de qui n'est pas une sous-variété (ce qui ne marche pas pour , pour des raisons évidentes).

[invite57a1e779]

Bonjour,

Par exemple, est un sous-groupe dense de , qui n'est pas une sous-variété.

[invite34b13e1b]

Merci à vous pour ces exemples ! Vraiment parfait : Un exemple facile à comprendre et donc retenir; et un autre (beaucoup) plus sophistiqué pour briller en société (dès que je l'aurais bien assimilé...)

[A voir en vidéo sur Futura]