Equa Diff : Euler ?

invite0b16296d · 04/04/2014, 12h58

Bonjour,

Je cherche la solution de l'équation suivante:

$\text{[math]}$

Est-ce qu'il existe une solution analytique de la forme de $\text{[math]}$ ?

Merci

**acx01b** · 04/04/2014, 14h14

$\text{[math]}$ constante ?

on a même, si les coefficients sont réels, une solution réelle (polynôme de degré 3 à coefficients réels)

invite0b16296d · 04/04/2014, 15h22

Non, $\text{[math]}$ n'est pas constante.

Il y a peut être la solution $\text{[math]}$ , mais je ne suis pas du tout sur.
De toute façon, ce n'est pas ça que je cherche.
Je cherche plutôt à exprimer $\text{[math]}$ en fonction du temps.

**acx01b** · 04/04/2014, 16h34

je ne comprends pas du tout

ton équation c'est bien $\text{[math]}$ ?

Envoyé par raph357

Non, $\text{[math]}$ n'est pas constante.

Tu veux une solution non constante ? Ce que je peux comprendre. La solution constante c'est seulement pour la condition initiale x'(0) = x''(0) = 0

Envoyé par raph357

Il y a peut être la solution $\text{[math]}$

??? alors là faut m'expliquer

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 04/04/2014, 19h06

Envoyé par raph357

Il y a peut être la solution $\text{[math]}$

Les solutions satisfont cette relation sur tout intervalle où la dérivée $\text{[math]}$ ne s'annule pas (et peut-être même lorsqu'elle s'annule...).
Le problème est donc d'inverser une intégrale elliptique : il ne faut pas espérer une solution analytique, sauf pour des valeurs très particulières des coefficients $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et encore seulement pour la/les solution(s) correspondant à des valeurs bien choisies de la constante $\text{[math]}$ .

invite0b16296d · 07/04/2014, 18h53

Envoyé par acx01b

??? alors là faut m'expliquer

Ce résultat vient tout droit d'un logiciel de calcul formel...

invite57a1e779 · 07/04/2014, 21h08

On a l'équation : $\text{[math]}$ qui ne contient pas $\text{[math]}$ : on multiplie donc par $\text{[math]}$ , et même par $\text{[math]}$ pour faire plus joli.

On obtient : $\text{[math]}$ et on intègre en notant $\text{[math]}$ la constante d'intégration.

On obtient : $\text{[math]}$ , soit : $\text{[math]}$

et en prenant la racine carrée : $\text{[math]}$ que l'on résout en séparant les variables : $\text{[math]}$ .

En intégrant, on obtient le résultat annoncé, plus les solutions symétriques puisqu'on a le choix du signe.

**acx01b** · 08/04/2014, 09h57

oui merci j'ai maintenant bien compris comment on arrive à la dérivée de la réciproque, mais tes notations et la "séparation de variables" n'étaient pas du tout claires pour moi au début.

$\text{[math]}$

on suppose que $\text{[math]}$ admet (localement) une réciproque $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

on note $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et puisque $\text{[math]}$

on trouve finalement $\text{[math]}$

je pense que c'est plus explicite, mais quand on a l'habitude je comprends qu'on s'autorise à utiliser ton écriture.

invite0b16296d · 22/04/2014, 19h26

Merci pour toutes ces réponses !

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