Equa diff

[invitefe14ddea]

Salut à tous
Quelqu'un pourait m'aider à résoudre cette equation differentielle et merci d'avance

dv(t)/dt+av²(t)=0
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[Coincoin]

Salut,
Connais-tu la méthode par séparation de variables ?

[Thorin]

Pose la fonction g(t)=1/v(t)

[invitefe14ddea]

Merci pour vos réponses je vais essayer cette méthode.
Par contre pourriez vous me montrer la méthode par séparation de variables et merci encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ALEX15000]

Par séparation des variables: (la fonction nulle est clairement solution)
dv(t)/dt+av²(t)=0
dv(t)/dt=-av²(t)
-dv(t)/v²(t)=adt
Puis en intégrant de chaque coté
1/v(t)=a*t + cst
Donc v(t)=1/(a*t) + cste

[invitefe14ddea]

Merci Alex 15000 pour ta réponse

[ALEX15000]

Vérifie quand même que tu trouve la même solution avec la méthode de Thorin...
EDIT:Ca marche également pour sa méthode..
Mais alors juste une question pourquoi poser g(t)=1/v(t)???

[Thorin]

Mais alors juste une question pourquoi poser g(t)=1/v(t)???

comment ça "pourquoi" ?



NB : petite remarque, dans les 2 cas, on divise par v(t)...sans savoir si elle s'annule ou pas.

[ALEX15000]

Ben comment avoir l'idée de poser cette fonction??

[Thorin]

Si on divise notre équation par v², on reconnait la dérivée de -1/v, ça peut mettre la puce à l'oreille ;p

Enfin, les idées, en maths, si on cherche absolument à savoir comment les avoir...on a pas fini

[invitefe14ddea]

Salut.
Avec la méthode de THORIN et celle de ALEX 15000 je ne trouve pas le meme résultat.

Excuse moi THORIN si je te dérange mais est-ce que tu peux m'expliciter ta méthode

[Thorin]

posant g=1/v, on a v=1/g
v'=-g'/g²

d'où en remplaçant :

-g'/g²+a/g²=0
on multiplie par g²

g'=a
g=at+constante
v=1/g=1/(at+constante)

NB : quand ALEX a écrit "Donc v(t)=1/(a*t) + cste", il a fait une erreur de parenthésage par rapport à sa pénultième ligne, je pense.

[invitefe14ddea]

Oui voila c,est ce que je pense.

[ALEX15000]

Non non c'était pas une erreru c'est juste que c'était une autre constante...
Dsl si c'était pas expliqué...

[Hamb]

pour poser g=1/v il faut que v ne s'annule pas (par exemple la fonction nulle est solution m'est n'est pas de la forme indiquée par thorin)

[Thorin]

Effectivement, mais j'avais la flemme de traiter ce cas hier.
Allons-y :

D'une part, on remarque que av² est de signe constant, donc v' est monotone.
Ainsi, si v s'annule plus d'une fois, elle est nulle entre ces points.

supposons que la fonction n'est pas nulle sur R.
Prenant un intervalle ouvert à gauche tel que la fonction ne s'annule pas dessus, mais que la borne gauche b soit un point d'annulation, alors, sur cet intervalle, v(t)=1/(at+constante).
Cependant, on veut une fonction continue (en effet, l'équation de départ, a priori, est définie partout, donc la fonction est dérivable en tout point, donc continue en tout point), donc, il faut que (lim de v(t) quand t tend vers b)= 0

Or, on vérifie facilement que quelque soit la valeur de la constante, cette limite ne sera pas satisfaite.

ainsi, il n'existe pas de fonction non identiquement nulle s'annulant au moins une fois.