Equation différentielle

[Thêta]

Bonjour,


J'ai un petit problème avec une équation différentielle : y' = (y^2+y+1)^2 * e^2x * (x^2+1)

Intuitivement de façon un peu barbar j'ai essayé de séparer les variable y' / (y^2+y+1)^2 = e^2x * (x^2+1) puis d'intégrer

J'ai posé u= (2y+1)/√(3) donc u'=2/√(3)

On a
y' / (y^2+y+1)^2 ={u'*√(3)/2} / { (3/4) (u^2+1)}^2 = {u'*√(3)/2} / { (3/4) (u^2+1)}^2 = (8√(3)/9) ( u' / (u^2+1)^2 ) = (8√(3)/9) { [(u^2+1) / (u^2+1)^2] - [u^2/(u^2+1)^2] }

La j'intègre le premier terme directement le second terme par partie finalement j'ai que la primitive de y' / (y^2+y+1)^2 est 4√(3)/9 arctg((2y+1)/√(3)) + (2y+1)/3(y^2+y+1)

J'intègre aussi a droit " e^2x * (x^2+1) "mais bon après je me retrouve bloquer.

Une idée pour transformer la différentielle de départ en une différentielle linéaire en changeant de variable ?


Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

Je vous conseille e lire ceci : http://forums.futura-sciences.com/ma...-de-forum.html, votre question en sera plus lisible donc plus lue, donc plus de chance d'avoir une réponse.

[invite57a1e779]

Bonjour,


J'ai un petit problème avec une équation différentielle : y' = (y^2+y+1)^2 * e^2x * (x^2+1)

Intuitivement de façon un peu barbar j'ai essayé de séparer les variable y' / (y^2+y+1)^2 = e^2x * (x^2+1) puis d'intégrer

J'ai posé u= (2y+1)/√(3) donc u'=2/√(3)

On a
y' / (y^2+y+1)^2 ={u'*√(3)/2} / { (3/4) (u^2+1)}^2 = {u'*√(3)/2} / { (3/4) (u^2+1)}^2 = (8√(3)/9) ( u' / (u^2+1)^2 ) = (8√(3)/9) { [(u^2+1) / (u^2+1)^2] - [u^2/(u^2+1)^2] }

La j'intègre le premier terme directement le second terme par partie finalement j'ai que la primitive de y' / (y^2+y+1)^2 est 4√(3)/9 arctg((2y+1)/√(3)) + (2y+1)/3(y^2+y+1)

J'intègre aussi a droit " e^2x * (x^2+1) "mais bon après je me retrouve bloquer.

Une idée pour transformer la différentielle de départ en une différentielle linéaire en changeant de variable ?


Merci d'avance

Bonjour,

Il n'y a pas à transformer l'équation différentielle, tu as fait ce qu'il fallait en séparant les variables pour obtenir :



Lorsqu'on primitive, il est d'usage d'introduire la constante du côté de la variable.

Comme tu l'as calculé, une primitive de est



et on obtient finalement :



où est une constante arbitraire.

Pour cette équation particulière, il n'y a pas eu à restreindre l'intervalle de résolution car ne s'annule pas.
Ensuite, la fonction que n'ai noté est strictement positive sur , donc sa primitive est strictement croissante, et est une bijection de sur qui est un intervalle borné qu'il faut déterminer, et que je note .

La relation permet de déterminer une solution et son intervalle de définition, il faut en effet que le second membre de appartienne à , soit:



et la solution est donné sur ainsi déterminé par :



Mais il est hors de question d'obtenir une expression explicite de , donc il est inutile d'envisager une autre méthode qui fournirait une expression explicite de .

Par contre on peut facilement, suivant la valeur de la constante , déterminer la nature, bornée ou non, de l'intervalle et donner l'allure des graphes des solutions .

[Thêta]

Merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]