résidu quadradique
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résidu quadradique



  1. #1
    invitefb92377f

    résidu quadradique


    ------

    Bonjour,

    Soit p un nombre premier tel que p=5 modulo 8.
    Est ce que 2 est un carré modulo p?

    J'ai donc posé p=5+8k pour un entier k strictement positif fixe.
    Pour l'instant la seule idée que j'ai c'est de regarder si


    mais là je bloque.

    Pourriez vous m'éclairer?

    merci d'avance

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : résidu quadradique

    Bonjour,

    L'idée est de calculer le produit des entiers pairs de 2 à p-1.

    Je fais le calcul dans le cas où k=13, c'est-à-dire p=13. Le produit envisagé est : .

    En factorisant chaque entier pair par 2 :



    On congrue modulo 13 en représentant chaque entier, non par un résidu de 0 à 13, mais par un résidu de -6 à 6



    Comme 6! est inversible modulo 13, on en déduit :

    .

    Le problème est simplement de dénombrer correctement le nombre de facteurs -1 qui apparaissent dans la congruence.

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