Résidu de z/|z|² ?

[julien_4230]

Bonjour. En fait le sujet n'est pas exactement celui-ci.

J'aimerais prouver que si z=x+iy, avec y>0, et si f est holomorphe sur le domaine D :



Alors :

(Problème de Dirichlet pour un demi-plan : il existe u harmonique tel que u=Re(f))

Bon, il me vient immédiatement en tête la formule de Cauchy :



Pour moi, est le demi-cercle supérieur, orienté dans le sens trigonométrique, de centre 0, de rayon assez grand pour appliquer le lemme de Jordan plus tard.

Bon, je suis un peu coincé... Merci de m'aider !
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[julien_4230]

Bon, j'ai en fait ceci :

.

Je tombe sur l'intégrale :



Je me vois mal faire un changement de variable et me retrouver avec :



et dire que cette intégrale est impaire et s'annule... d'une part à cause du f(Z) (qui n'est pas forcément paire) et d'autre part à cause des bornes de l'intégrale !

Merci.

[invite4ef352d8]

Salut !

peut-etre devrait tu ecrire que Z/|Z²| = 1/(conjugué de Z), or comme ton Z varie selon une droite, son conjugué va s'exprimer comme une fonction affine simple de Z et tu sera ramené à qqch qui ressemble beaucoup plus à la formule de cauchy... il ne te restera ensuite plus qu'a passer de l'intégrale selon la droite à une limite d'intégrale selon des courbes fermé... mais pour cela tu as bessoin d'hypothèse de domination sur f que tu n'as pas préciser, donc on ne peut pas t'aider d'avantage...

[julien_4230]

Eh bien oui, mais l'énoncé ne précise rien d'autre en fait... J'ai vraiment tout dit... Il est incorrect ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

euh... sans hypothèse supplémentaire il n'as aucun sens : il n'y a rien qui assure que l'intégrale converge :S


de plus c'est pas totalement claire ce qu'est "f(t)" pour t un réel alors que f est défini pour y>0


bref, il y a bien une formule "vrai" qui ressemble à sa... mais il faut des hypothèses de régularité et de domination à l'infini suplaimentaire pour que ca marche (au minimum pour donner un sens à f(t), et pour assurer la convergence de l'intégrale, plus encore des petites choses pour assure que l'intégrale de f sur un demi cercle soit pas trop grande quand le rayon tend vers l'infini...)

[julien_4230]

Bonjour,

Tout ce que vous me dîtes ici devrait fonctionner pour une telle fonction f holomorphe, qui vérifie le lemme de Jordan, et telle que la limite de |z| tend vers de |f(z)| vale 0. On doit alors supposer en plus que f vérifie de telles conditions.

[invite4ef352d8]

oui je pense, mais il y a aussi le problème de pouvoir parler de de f(t) alors que f n'est pas défini sur l'axe réel, et surtout de pouvoir appliquer la formule de cauchy a une courbe qui passe par l'axe réel...

bien sur supposer que f est holomorphe sur un voisinage de D serait suffisant, mais c'est excessivement fort... supposer qu'elle ce prolonge pas continuité au bord ne me semble en revanche pas suffisant (il faut une hypothèse de domination pour assure que l'intégrale selon la droite y=epsilon tendent vers l'intégrale sur la droite y=0 quand epsilon->0...)

[Armen92]

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(Problème de Dirichlet pour un demi-plan : il existe u harmonique tel que u=Re(f))

Bon, il me vient immédiatement en tête la formule de Cauchy :

frac{f(w)}{w-z}dw[/TEX]

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Bonjour,
Bonne idée de penser à la formule de Cauchy ! Je vous suggère :
a) de penser aussi au théorème de Cauchy en considérant
l'intégrale :

Combien vaut-elle ?
b) d'en déduire :

c) et de conclure.

Les conditions sur (holomorphe en haut et satisfaisant le premier lemme de Jordan) sont suffisantes. Sont-elles nécessaires ? Là, il faut demander à un vrai matheux !