calcul de résidu

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai un exo d´analyse complexe et son corrigé dans lequel il y a un détail que je ne comprend pas. Il s´agit de l´énoncé suivant.

Calculer:



désigne le cercle de centre 0 et de rayon R, en distinguant les deux cas R < 1 et R > 1

Il s´agit donc d´utiliser le théorème de Cauchy. Les indices des deux singularités étant 1, l´intégrale est égale à:

2.PI.i [Res(f,0) + Res(f,1)] si R>1
2.PI.i. Res(f,0) si R<0

C´est justement Res(f,0) qui me pose problème. Comme c´est une singularité essentielle de f, je ne sais pas trop comment la calculer, pour les pôles c´est plus simple. Et dans mon corrigé, ils écrivent:



mais sans autre commentaire et sans explication.

Quelqu´un pourrait-il m´expliquer comment on calcule le résidu d´une singularité essentielle?

Merci d´avance
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[invitee75a2d43]

Euh pardon... petite erreur de texte. Il fallait lire évidement:



2.PI.i [Res(f,0) + Res(f,1)] si R>1
2.PI.i. Res(f,0) si R<1

C´est peut-être pour ça que personne ne répond?

[invitea41c27c1]

Tu développes en série :





Tu multiplies et tu regardes le terme en .

Cordialement

[invitee75a2d43]

Tu développes en série :





Tu multiplies et tu regardes le terme en .

Cordialement

merci, ça me fait avancer, mais ça suppose que module(z) < 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

mais ça suppose que module(z) < 1.

Bien sûr ! Ta fonction a deux singularités, en 0 et en 1.
Pour déterminer le résidu en 0, il te faut donc connaître la série de Laurent dans la couronne .