Petite question sur les groupes diédraux Dn

[invite97a526b6]

Bonjour,
Il y a une petite chose que me chifonne sur les groupe diédraux.
Prenons par exemple D₄.
On affirme que ce groupe de 8 éléments est le groupe de transformations laissant invariant le carré.
Mais ses 8 éléments ne comprennent pas les deux symétries par rapport aux deux diagonales qui laissent aussi le carré invariant.
A la différence des 8 transformations de D₄, les symétries par rapport aux diagonales ne conservent pas l'ordre des sommets mais laissent bien le carré invariant.
Je conclus que les transformations laissant invariant le carré comprend 10 éléments et semble être aussi un groupe (je ne l'ai pas démontré).

D'où cette question sur les groupes diédraux D_n qui ne semblent pas contenir toutes les transformations laissant invariants le polygone régulier à n cotés, contrairement à ce qui est souvent affirmé ?

Merci pour réponse à cette question naïve.
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[Amanuensis]

Je conclus que les transformations laissant invariant le carré comprend 10 éléments et semble être aussi un groupe (je ne l'ai pas démontré).

Le groupe de transformations planes (dans le plan) laissant le carré invariant comporte 8 éléments, qui se répartissent comme suit:

Les 4 rotations centrales (identité, 1/4 tour, 1/2 tour et 3/4 tour) ;

Les deux symétries par rapport aux diagonales ;

Les deux symétries par rapport aux médianes (passant par les centres de côtés opposés).

[invite97a526b6]

Le groupe de transformations planes (dans le plan) laissant le carré invariant comporte 8 éléments, qui se répartissent comme suit:

Les 4 rotations centrales (identité, 1/4 tour, 1/2 tour et 3/4 tour) ;

Les deux symétries par rapport aux diagonales ;

Les deux symétries par rapport aux médianes (passant par les centres de côtés opposés).

Merci de votre réponse. C'est très clair maintenant.