petite questions sur les groupes

[invite21126052]

bonjour à tous, je me pose trois petites questions concernant les groupes, auxquelles j'aimerais bien que vous repondiez s'il vous plait

en fait, ce sont trois affirmations qui, d'apres ce que j'ai compris, sont justes, mais j'aurais bien aimé avoir confirmation...

* (Z,+) est un groupe monogène engendré (notamment) par {1}
* les entiers relatifs pairs forment munis de l'addition usuelle forment un sous groupe de (Z,+), ils sont engendrés par {2}
*(R,+) est un groupe non monogene;
pour moi, ce dernier groupe est engendré, mais par quoi? [0;0[ ??? (ou alors je me trompe...)
j'espere ne pas dire trop d'horreurs

merci pour vos reponses
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[invite9c9b9968]

monogène signifie "engendré par un élément"

Donc tes deux premières affirmations sont parfaitement exactes, ainsi que la dernière ((IR,+) est effectivement non-monogène, puisque indénombrable) )

Par contre (et c'est pourquoi j'ai distingué tes 2 premières propositions de la dernière), tu penses que [0;0[ engendre (IR,+) ; d'abord, je pense que tu voulais plutôt écrire [0;1[, et ensuite ce n'est pas un élément mais un ensemble, donc cela ne justifie pas l'éventuelle monogénéité de IR (qui, comme je l'ai dit, n'est pas monogène)

@+

julien

[invite21126052]

merci beaucoup pour ta reponse;

en realité, je me rends compte que pour le dernier groupe, je me suis un peu emmelé...

je voulais, malgré ce que j'ai ecrit, considéré (R,+) comme monogène, et j'aurais pris comme element "engendrant", le plus petit réel suivant immediatement 0...en fait, je voulais meme ecrire ]0,0[....

n'y a-t-il pas des notions exprimant ce que je viens de dire (le plus petit element suivant un autre, dans Q ou R)?

(ma prof de maths hurlerait si elle m'entendait parler comme ça!! je suppose qu'elle aurait raison...)

[invite9c9b9968]

dans IR il n'y a pas de plus petit élément suivant un élément x donné, du fait de son caractère indénombrable

ta prof aurait donc raison de hurler

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee65b1c3d]

dans IR il n'y a pas de plus petit élément suivant un élément x donné, du fait de son caractère indénombrable

ta prof aurait donc raison de hurler

AAAAAARRRGGGG (cri du prof qui hurle )

Ce n'est pas tout à fait exact (c'est même faux) : il existe des groupes ordonnés indénombrables dans lesquels pour tout x il existe un plus petit élément plus grand que x (égal à x+1).
Pour trouver un tel groupe, il suffit de prendre n'importe quel modèle indénombrable de la théorie de (de tels groupes existent d'après le théorème de Lowenheim-Skolem ascendant).

Et dans qui est dénombrable, il n'y a pas de plus petit élément suivant x (et ce pour aucun x).

C'est en fait complètement indépendant du cardinal infini (en, fait, cela est du au fait que l'existence pour tout x d'un plus petit élément strictement plus grand que x est axiomatisable au 1er ordre).



La notion de "plus petit élément suivant x" (c'est à dire de plus petit élément strictement plus grand que x" s'appelle "successeur" (de x).

Dans R et dans Q, on n'a pas cette notion, ni de notion équivalente, car l'ordre de R et Q est "dense", c'est à dire qu'entre deux élément de R (ou Q), il existe toujours un 3ème élément.
Autrement dit :
pour tout x, pour tout y, si x<y alors il existe z tel que x<z<y.

C'est cela qui emplèche toute notion de successeur :, si y était le successeur de x, on pourrait trouver un z tel que x<z<y., ce qui contredirait la définition du successeur.

Sinon, il est possible de donner une définition d'éléments infiniment petit (mais c'est relativement complexe, même s'il a été envisagé par certains d'introduire cette notion en lycée), qui pourrait s'approcher de ce que tu cherche (mais c'est quand même assez différent).

[invite9c9b9968]

oups pardon, je pensais que c'était le caractère indénombrable de IR qui faisait qu'il n'y avait pas de plus petit réel après un réel. Pour Q je savais que c'était par densité, mais pour IR, comme la densité de IR dans lui-même n'a pas grand interêt...

merci de m'avoir rectifié (et je viens de me souvenir d'où cela vient : de la propriété d'Archimède, ie que IN est infini)