Bonjour,
J'ai commencer à lire ce document, je comprend bien les définitions mais est-ce que quelqu'un pourrait me donner des exemples?
Un ensemble contient des éléments, et un groupes est un ensemble muni d'une loi interne associative possédant une unité et est telle que tous élément possède un inverse.
Donc est ce que E={1,3,5} est un ensemble? Et ce que R est un groupes?
Merci pour vos réponses.
L'ensemble lR muni de l'addition + est un groupe. En effet :
1/ pour deux réels x et y, on a que x+y est toujours un réel (l'addition est donc interne)
2/ l'addition est associative : pour trois réels x, y et z, on a que (x+y)+z = x+(y+z)
3/ il existe un réel neutre pour l'addition, qui est le réel 0 : x+0 = 0+x = x où x est un réel quelconque
4/ tout réel x admet un opposé -x : x+(-x) = (-x)+x = 0 = neutre.
L'addition est, de plus, commutative : x+y = y+x pour deux réels quelconques x et y. Le groupe (lR,+) est donc un groupe commutatif.
Je te laisse voir par toi-même que lR muni de la multiplication (lR,·) est également un groupe commutatif.
Pour les ensembles, la difficulté est que l'on ne définit pas vraiment cette notion (c'est une terme primitif dans les axiomes). Donc effectivement ce que l'on peut dire de mieux, c'est qu'un ensemble contient des éléments.Envoyé par Witten
Une des notations est: ensemble = {liste des éléments}
donc oui {1;3;5} est un ensemble, et IR aussi.
A noter que les éléments d'un ensemble peuvent être d'autres ensembles: {IR; IN} est un ensemble à deux éléments.
Un ensemble qui ne contient aucun élément s'appelle l'ensemble vide (noté)
Un groupe est effectivement un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre pour cette loi (parler d'élément neutre plutôt que d'unité) tel que tout élément possède un inverse.
Donc IR à lui tout seul n'est pas un groupe, mais si on prend l'addition usuelle sur les rééls, alors (IR;+) est un groupe.
En effet:
La loi + est interne:
pour tous x et y dans IR, x+y est dans IR
La loi + est associative:
pour tous x, y et z dans IR, (x+y)+z = x+(y+z)
0 est un élément neutre pour +:
pour tout x réél x+0 = 0+x = x
Tout élément de IR possède un inverse:
pour tout x dans IR: x+(-x)=(-x)+x=0
Petit exercice: (IR;x) est-il un groupe ?
[EDIT: grillé par Sephi qui a dit une ânerie sur (IR;.)]
Dernière modification par matthias ; 01/07/2005 à 23h59.
Un contre exemple est l'ensemble des naturels lN muni de l'addition.
(lN,+) n'est pas un groupe parce que la condition 4/ n'est pas remplie. En effet, le neutre étant 0, l'opposé d'un naturel n serait -n, or ce dernier n'est pas un naturel.
Par contre, (Z,+) est un groupe, où Z est l'ensemble des entiers.
Mais c'est bien sûr, je voulais dire (lR0,·) bien entendu[EDIT: grillé par Sephi qui a dit une ânerie sur (IR;.)Impardonnable que cela !
Tiens, je connais pas cette notation: elle vient d'où?Mais c'est bien sûr, je voulais dire (lR0,·) bien entendu
Pourquoi IR0 ? Je ne connais pas comme notation. Pas IR* ?Mais c'est bien sûr, je voulais dire (lR0,·) bien entendu
Pour Witten comprendre IR privé de 0 bien sûr.
[EDIT: grillé par martini, si ça continue faudra que ça cesse]
Je suis étonné par ce document: c'est censé être niveau license et on a fait tout ça en mpsi!!
Quant aux ensembles et à leur définition, elles interviennent dasn ce qu'on appelle la théorie des ensembles. Cette théorie met en place des axiomes, i.e. des énoncés dont tu admets la véracité et qui vont te servir à étalir des résultats. Il faut voir que les mathématiques ne sont qu'une science qui établit des résultats, des théorèmes, propositions,etc... à partir d'axiomes. Ces résultats n'ont aucune valeur en-dehors de ces axiomes. Les maths ne sont qu'une science "imaginaire" qui ne décrit pas la réalité mais déduit à partir d'hypothèses des résultats. La plupart des résultats actuels proviennent de la théorie des ensembles ZFC qui comprend 9 axiomes. Le 9° qui n'est autre que le non-moins célèbre axiome du choix permet, si on ne le compte pas, d'obtenir des résultats qui peuvent se révéler très différents de ceux obtenus en admettant l'axiome du choix.
Pour plus de renseignement, regarde ceci:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._des_ensembles
Salut,
C'est logique:
Il y a un peu plus de chose en licence de maths.Ce cours de géométrie est le fruit de cinq années d'enseignement en licence pluridisciplinaire en sciences et technologie ...
Cordialement.
C'est peut-être une notation de belge.
Un opposé plutot non ?tout élément possède un inverse.
Parce que sinon (R, +) n'est pas un groupe (bah oué on nous a toujours dit que diviser par 0 c'est pas cool).
Oui ca doit etre ca, parce que moi aussi j'ai jamais vu cetten otation (j'utilise toujours R* pour R privé de 0). Enfin bon tant qu'on se comprend...C'est peut-être une notation de belge.
En fait, le terme usuel, c'est "inverse", mais dans le cas où la loi de groupe est l'addition, on parle d'opposé ...
Non, j'ai toujours noté les 2 IR*. Mais en fonction du contexte il n'y a pas d'ambiguïté.
Sinon on peut ausi écrire
Parenthèse qui n'a rien à voir : connaissez-vous la notation
Il me semble que c'est une notation belge, donc je voulais vérifier.
En fait on aurait même pu dire: tout élément admet un élément symétrique pour la loi.
addition => opposé
multiplication => inverse
Mais bon, il faut se méfier le vocabulaire est assez changeant pour ce genre de choses.
effectivement, jamais vu.Parenthèse qui n'a rien à voir : connaissez-vous la notation
Il me semble que c'est une notation belge, donc je voulais vérifier.
vous utilisez ça et
J'avais jamais entendu parler...Il me semble que c'est une notation belge, donc je voulais vérifier.
Encore une fois tant que l'on se comprend lol... enfin ca serait mieux si on avait tous les mêmes signes/ le même vocabulaireMais bon, il faut se méfier le vocabulaire est assez changeant pour ce genre de choses.
Je n'ai rencontré la notation "cis" que durant mes années de lycée, à la fac on passe à la notation standard. Mais je me souviens que mon prof m'avait parlé de "notation belge" pour le cis, c'est pour çaeffectivement, jamais vu.
vous utilisez ça et
Par contre, le R0, je l'utilise constamment. Enfin bref.
Merci pour toutes vos réponses. Je crois que la définition d'un ensemble et d'un groupe est bien clair pour moi maintenant.
Autre question, donc je lit qu'un homomorphisme est une application f qui va d'un groupe G a un groupe H, et est telle que f(xy)=f(x)f(y).
Attention je vais essayer d'intérpreter, donc si tous est faux ne soyez pas choqué:
Est que f(x)=x² est un homomorphisme? Vu qu'on va de R à
Ca c'est ce que j'ai compris. Merci de me corrigé mes erreurs.
Dans pas mal d'université, la géométrie n'est vu qu'en L3, les structures algébriques sont entrevues en L1 et largement approfondies en L3 voir optionnellement en L2, et enfin l'algèbre linéaire présente sur ce document est vue en L1. En fait ce document présente pas mal de rappels, et la partie géométrie est tout de même assez succinte.
Quand on dit que l'on a un homomorphisme, il faut préciser de quoi dans quoi et pour quelle loi (sauf si c'est sous entendu).
Ici c'est bien un homomorphisme, de (R*,.) vers (R*+,.)
On a bien la surjection et pas l'injection.
En fait, on peut montrer que les fonctions puissances sont les seuls homomorphismes continus de (R*,.) vers (R*+,.).
Sinon je rejoins evariste_galois sur ses propos quant au programme de Licence.
A+
Merci pour toutes vos réponses. Je crois que la définition d'un ensemble et d'un groupe est bien clair pour moi maintenant.
Autre question, donc je lit qu'un homomorphisme est une application f qui va d'un groupe G a un groupe H, et est telle que f(xy)=f(x)f(y).
Attention je vais essayer d'intérpreter, donc si tous est faux ne soyez pas choqué:
Est que f(x)=x² est un homomorphisme? Vu qu'on va de R à
Ca c'est ce que j'ai compris. Merci de me corrigé mes erreurs.
Petit conseil, quand tu dis que f est un homomorphisme, précise de quel groupe vers quel groupe, de même quand tu dis par exemple que lR est un groupe, précise pour quelle loi (car il peut l'être pour plusieurs lois). Tu peux par exemple dire que (lR,+) est un groupe, ou que lR est un groupe pour la l.c.i +, etc.
Concernant l'homomorphisme, on dit que f est un homomorphisme de (G,+) dans (H,*) si, pour tout x, y dans G, f(x+y)=f(x)*f(y) , où + et * sont respectivement des lois de composition internes définies sur G et H.
L'exemple que tu as donné est valide, puisque f(x*y)=(x*y)²=x²*y²=f(x)*f(y) .
f est donc un homomorphisme de (lR*,*) dans (
Je te laisse le soin d'en trouvé d'autres, il y en a un classique définit à partir de la fonction ln. Au travail.
Salut,
C'est peut-être une notation de belge.
pour ma part je préfère la notation
Cordialement.
Pourquoi IR* ???
Parce que si tu ajoutes 0 tu n'as plus un groupe multiplicatif. (0 n'a pas d'inverse)
Pourquoi est ce que toutes les fonctions puissance sont des homomorphisme? Pour moi f(x)=x³ est un automorphisme, vu qu'on va de (R*,.) dans (R*,.), et que chaque image a 1 antécédent c'est une bijection? Donc c'est un automorphisme? Je dois surement me tromper quelque part.
Non ca marche, un automorphisme est un homomorphisme particulier.
Oui d'accord si on voit les choses comme ça f(x)=x³ est un homomorphisme. Donc un auto, endo, ou iso-morphisme sont des homomorphisme particulier.
Oui, c'est d'ailleurs comme cela qu'on les définit généralement.
Un endomorphisme est un homomorphisme d'un groupe vers lui-même.
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Un petit détail :
f(x)=x² est aussi un homomorphisme de (R*,.) dans (R*,.).
