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Relation métrique dans un triangle



  1. #1
    amaew

    Relation métrique dans un triangle


    ------

    Bonjour, j'ai un petit souci de maths ...

    Voila l'énoncé:
    ABC est un triangle. a, b et c désignent respectivement les longueurs des côtés [BC], [AC] et [AB]. p désigne le demi périmètre du triangle ABC. A' est le milieu de [BC], O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC de rayon R. I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC de rayon r. S est l'aire du triangle ABC.

    1) justifier que:
    a) si  est aigu alors  = 1/2 BÔC

    Je pense que c'est bon pour celle la...
    Regardez ce que j'ai mis:

    Pour  aigu, A et O sont deux points situés sur le même côté du cercle coupé en deux parties par la droite (BC).

    Nous avons  un angle inscrit au cercle de centre O qui intercepte l'arc BC et BÔC un angle au centre qui intercepte le même arc BC.

    Or l'angle orienté au centre interceptant l'arc BC est le double de l'angle orienté inscrit au cercle qui intercepte le même arc.
    Â = 1/2 BÔC cqfd

    b) si  est obtus alors  = pi - 1/2 BÔC
    Je pense avoir compris mais je sais pas si la rédac est bonne...

    Pour  obtus, A et O sont situés sur des côtés différent du cercle coupé en deux par (BC).

    Soit D un point situé sur le cercle de centre O et du même côté que le point O.
    On a donc BÔC angle au centre interceptant l'arc BC et BDC un angle inscrit qui intercepte le même arc.
    On a donc BDC = 1/2 BÔC

    A appartient à l'arc C1 et est delimité par la corde [BC] et D appartient à l'arc C2 qui est delimité par cette même corde.

    Nous avons donc deux angles orientés qui interceptent le même arc mais qui sont sur une corde différente.
    D'où Â = pi - BDC
    BDC = 1/2 BÔC
    Â = pi - 1/2 BÔC (2k pi)

    Montrer que dans tous les cas, a/2 = R sinÂ
    Je sais pas... Je pense qu'il faudrait peut être montrer que le cos de l'angle OBA' est égal au sin de  dans tous les cas mais je ne sais pas si c'est bon...

    2) En déduire que sinÂ/a = sin^B/b = sin^C/c = 1/2R
    a est le côté opposé au sommet A
    b est le côté opposé au sommet B
    c est le côté opposé au sommet C
    D'après le cour il existe des relation métrique dans un triangle et sinÂ/a = sin^B/b = sin^C/c = 1/2R

    Montrer que S = abc/4R

    D'après le cours, on sait que 1/2R = 2S/abc
    abc/ 2R2S
    S = abc/2*2*R
    S = abc/ 4R

    3) En utilisant trois triangles convenables, montrer que S = p r .

    Je ne sais pas du tout...

    4) Application: ABC est un triangle tel que a = 2racine10 cm , b= 8cm et c = 2racine2 cm.

    a) déterminer l'angle BÂC.
    On utilise le thèoreme d'Al Kashi.
    BC² = AB² + AC² - 2ABACcos(AB,AC)
    40 = 8 + 64 - 32racine2cos(AB,AC)
    racine2 cos (AB,AC) = 1
    cos (AB,AC) = 1/racine2
    BAC = 45°

    En déduire la valeur de l'aire S du triangle puis les valeurs de R et r.

    2S/abc = sinÂ/a
    sin x abc = 2Sa
    (sin45° abc)/ 2a = S
    S = 80cm²

    sinÂ/a = 1/2R
    2Rsin45° = a
    R = a/(2sin45°)
    R = racine 10 / sin 45°

    r = ?
    Je ne sais pas j'ai pas trouvé la bonne formule...

    Merci de m'aider

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    amaew

    Re : Relation métrique dans un triangle

    s'il vous plait n'y a t-il pas quelqu'un pour m'aider?

  4. #3
    mécano41

    Re : Relation métrique dans un triangle

    Bonjour

    Bon ! si tous les profs sont en vacances... , je m'y colle mais attention, je ne sais pas ce qui correspond exactement à ton cours. Je te dis seulement si c'est bon et je te donnes quelques indications pour continuer.

    Point 1 : a et b ça me paraît correct. Pour a/2 = R.sinÂ, prolonge BO jusqu'à couper le cercle en E et cherche le sinus de l'angle BEC dans le triangle rectangle BEC. Comme tu vois que l'angle BEC= angle BOC/2 = Â, tu auras ta réponse.

    A partir de R.sinÂ/a = 1/2.R tu peux bien trouver sinÂ/a =1/2.R !

    Point 2 :tu recommences les mêmes opérations pour les deux autres sommets B et C et tu auras ta démonstration

    Pour S=a.b.c/4.R , si ce que tu as indiqué est bien ton cours, ce que tu as fait est correct.

    Point 3 : Par le point I, centre du cercle inscrit, mène les hauteurs des trois triangles AIB, AIC et CIB puis exprimes leurs aires en fonction de la hauteur r et du côté correspondant puis exprimes l'aire de ABC en fonction des trois aires trouvées. Tu vas tomber sur une somme des trois côtés que tu devras exprimer en fonction de p.

    Point 4 : le calcul de l'angle est bon mais refais celui de l'aire, c'est 8 cm² et non pas 80 cm². Pour R, c'est bon.
    Pour r : tu as S, tu as p et tu as dit que S = p.r alors ?

    A bientôt

  5. #4
    amaew

    Re : Relation métrique dans un triangle

    Merciii beaucoup je vais essayer de voir tout ça!

  6. #5
    homotopie

    Re : Relation métrique dans un triangle

    Un seul petit point par rapport au post de mecano41.
    Montrer S=abc/(4R) deut et doit se faire avec ce qui est fait avant à savoir sin(â)/a=sin(B)/b=sin(C)/c=1/(2R)
    Tuyau : comment passe t-on de 1/(2R) à abc/(4R). Appliquer à une des égalités précédentes, on retrouve une des formules classiques de l'aire d'un triangle.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    amaew

    Re : Relation métrique dans un triangle

    ok merci beaucoup!

  9. Publicité

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