Déplacement aléatoire d'une puce

[inviteaf7e4316]

Bonsoir,

Une puce se déplace sur un axe gradué d'origine O par bonds successifs d'une ou de deux unités vers la droite suivant la procédure suivante :
- au départ la puce est en O,
- Si à un instant, la puce est au point d'abscisse k, à l'instant d'après elle sera soit au point d'abscisse k+1 avec la probabilité 1/2 soit au point d'abscisse k+2 avec la probabilité 1/2.
- les sauts sont indépendants


1. On désigne par S_n la variable aléatoire égale au nombre de sauts d'une unité effectuées par la puce au cours des n premiers sauts. Déterminer la loi de Sn, son espérance et sa variance.

2. On désigne par X_n la variable aléatoire égale à l'abscisse de la puce après n sauts. Déterminer la loi de X_n, son espérance et sa variance

3. Y_n est la variable aléatoire égale au nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la case d'abscisse n.

a) Déterminer Y_n(Ω)
b) Montrer que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier k ≥ 1:

P(Yn = k) = (1/2) P(Y_n-1 = k-1) + (1/2) P(Y_n-2 = k-1)



Voila, c'est juste au niveau de la question 3)b) que je bloque... et ceci m'empêche donc de continuer avec la suite de l'exercice !


Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Pour "atteindre ou dépasser la case d'abscisse n", il fallait soit être déjà sur la case n-1, soit sur la case n-2 et faire un saut de 2.

Mais la formule qui t'est proposée correspond plutôt à Yn= nombre de sauts pour arriver sur la case n, j'ai l'impression. car si on est en k-1 sauts arrivé en n-1, on est sur d'être après le k-ième saut en n ou en n+1.

Cordialement.