Bonjour, j'ai une question toute simple que je n'avais jamais osé poser, mais je n'en peux plus de ne pas savoir. Quand on résout une équation différentielle, en général, on trouve une solution particulière et on la rajoute à une solution particulière. On nous dit ensuite que ça représente l'ensemble des solutions. Comment sait-on que la solution particulière est unique?
déjà toutes les equa diff ne passe pas par la recherche d'une solution particulière.
ensuite, elle n'est pas unique, puisque par principe toute solution trouvé peut être prise au départ comme solution particulière.
mais en général c'est celle qui saute aux yeux. ( c'est sa seule particularité )
Bonjour,
Les équations différentielles concernées sont linéaires à coefficients constants. L'ensemble des solutions forme alors un espace vectoriel dont il suffit de trouver une base. La solution particulière permet de compléter la base des solutions dans le cas inhomogène. Le choix d'une solution particulière est arbitraire (d'ailleurs tout combinaison linéaire de solutions particulières convient aussi comme solution particulière). Donc pour répondre à votre question: il n'y a pas un choix unique pour une solution particulière, mais en choisir l'une ou l'autre n'importe pas.
Merci, j'aurais du préciser à coefficients constants, ce que j'imaginais, c'est que, si la somme "solutions homogène+solution particulière" représente l'ensemble des solutions, alors la solution particulière doit être unique. Mais je pense que vous y avez répondu en disant que le choix d'une solution particulière est arbitraire. Ca me parait juste contre intuitif.
Bonjour,
Pour aider votre intuition: l'espace des solutions à une telle équation différentielle est un espace vectoriel. Pour décrire cet espace (et donc toutes les solutions) il suffit de choisir une base de solutions, base qui n'est pas unique.
Un vecteur de cette base est constitué par une solution particulière (les autres vecteurs étant déterminés par les solutions à l'équation homogène).
Comme le choix de la base est non-unique, le choix de ses vecteurs constitutifs est aussi non-unique. Partant, le choix d'une solution particulière est non-unique.
Tout cela n'empêchera pas le fait que l'espace vectoriel décrit (quel que soit le choix de la base) sera toujours le même. Les solutions seront donc les mêmes quel que soit le choix de la solution particulière.
Bonjour,
Plutôt Espace Affine, non ?Envoyé par Paraboloide_Hyperbolique
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Disons-le autrement :
Pour une équation du premier ordre, les solutions s'écrivent f(x)+kg(x) où k est un réel quelconque.
Prenons un réel m fixé. Posons F(x)= f(x)+mg(x) et l=k-m. On voit que les solutions s'écrivent F(x)+lg(x), où F est une solution de l'équation générale et lg(x) est la solution générale de l'équation homogène. F est donc une solution particulière et il n'y a pas unicité.
Par contre, dans de nombreux cas, comme on fixe à priori l'expression de la solution particulière que l'on cherche, il y a alors unicité de ce type de solution : Si on résout y'-y=x, on cherche une solution particulière de la forme y=ax+b, et il y a unicité de a et b. mais on aurait pu chercher une solution particulière de la forme exp(x)+ax+b
Finalement, tu as bien fait de poser la question Kalish.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 07/06/2014 à 13h46.
Si. Merci de la correction.
Ok merci gg0 (et les autres aussi), juste une (ou deux) dernière(s) question(s), pourquoi peut-on écrire les solution selon f(x)+kg(x), est-ce que ça a un rapport avec le fait que l'ensemble des solutions est un espace affine ou ça n'a rien à voir du tout?
Et si lg(x) est une solution de l'équation homogène, est-ce que ça ne doit pas aussi être le cas de kg(x) quelque soit k?
@paraboloide hyperboliqueJustement est-ce que ça ne signifie pas que n'importe quelle solution "particulière" est un multiple de la première (ce que je trouve bizarre au passage, puisque ça me parait applicables aux solutions homogènes)Un vecteur de cette base est constitué par une solution particulière (les autres vecteurs étant déterminés par les solutions à l'équation homogène).
Je me corrige, parce que j'ai eu le temps de réfléchir, et c'était n'importe quoi au dessus, je reprends:
justement est-ce que ça ne signifie pas que toute solution particulière n'est que la somme de solutions homogènes et de la particulière qu'on a trouvé, donc finalement que les autres n'ont rien de bien différent?
C'est vrai que quand on y pense c'est assez simple en fait si j'ai y1 solution "particulière" et y2 solution particulière également alors y1-y2 est solution homogène , donc on peut exprimer y2 en fonction de y1 et de solutions homogènes. J'ai du voir ça il y a longtemps mais j'ai oublié désolé.
Bonsoir,
Personnellement, je trouve très éclairant la résolution par la méthode de Laplace.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Applica...ifférentielles
On traite de la même façon l'ev de la solution générale et celui de la solution particulière.
Les "collisions" entre les deux sont mieux gérés, expliqués, sans besoin de faire intervenir des trucs du genre variation de constante.
"collision" : Quand par malheur, le second membre est solution de l'ED homogène.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci j'y jetterai un oeil, mais je n'ai vraiment pas envie d'initier une discussion sur les mérites de la transformée de Laplace, si tu vois ce que je veux dire. D'autant que j'ai déjà utilisé la TL dans des calculs de solutions d'équa diff.
Bonjour,
Je comprends; je ne tiens pas à te polluer ton post sur les EDO.
Je te donne juste un avis personnel de non mathématicien, utilisateur de maths en physique.
J'ai toujours trouvé que les techniques d'intégration (ou de résolution d'équation différentielle) faisait un peu cuisine. (no offence, juste ma vue étriquée). C'est sans doute du au fait que je n'avais pas le recul nécessaire pour bien les appréhender.
Exemple :
Pourquoi chercher une solution sous la forme t.e^t quand le second membre est solution de l'ED.
Pourquoi une technique de "variation de la constante" marche?
En Laplace, tout ces aspects deviennent beaucoup plus clair, facile et surtout systématique.
On traite tout en même temps : La solution générale, la solution particulière et les conditions initiales. C'est à la fois un avantage et un inconvénient.
Les propriétés de la TL ne sont pas très difficiles à démontrer et encore moins à utiliser. Tout devient beaucoup moins mystérieux.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Certes, Laplace ça marche bien quand on a des coefficients constants (même si je préfère Fourier), par contre ça deviens vilain quand les coefficients ne sont pas constants.
Alors que la méthode résolution de l'équation homogène + variation de la constante ça marche pour à peu près n'importe quelle EDO linéaire du premier ordre (après on peut se retrouver avec des expressions sous forme intégrale, mais c'est la vie).
y'(t) + cos(t)y(t) = 1/t
y(pi) = 1
Équation homogène : y'(t) + cos(t)y(t) = 0
> y'(t)/y(t) = - cos(t)
> ln(y(t)) = C-sin(t)
> y(t) = e^(C-sin(t)) = e^(-sin(t))
Variation de la constante : y(t) = g(t)e^(-sin(t))
> g'(t)e^(-sin(t)) = 1/t
>
D'où
Après je te l'accorde, la recherche "au pif" de solutions particulières, ce sont généralement des heuristiques qui font un peu recette de cuisine (mais bon, en maths, tant que ça marche)
on peut aussi les "astuces" de cgt de variables parfois très utiles.
Je suis d'accord c'était un peu la question, mais je crois qu'on a eu de bonnes réponses, c'est en tout cas ce que j'attendais. Ce qu'on peut dire c'est que ça marche, et après voir pourquoi ça marche. Par contre je suis un peu déçu que tu n'aies pas trouvé de primitive à e^(sin(x)/x TryssExemple :
Pourquoi chercher une solution sous la forme t.e^t quand le second membre est solution de l'ED.
Pourquoi une technique de "variation de la constante" marche?
Je viens de relire mon message d'intro et je suis presque persuadé que j'avais bien écrit solution particulière que l'on rajoute à la solution homogène, alors soit je suis vraiment étourdi, soit c'est une cabale des admins. ce qui est bizarre c'est que personne n'a relevé ensuite. J'ai pas envie de jouer.
Personne n'a relevé parce que tout le monde a compris que tu faisais une étourderie. par contre, mettre en cause les administrateurs n'est pas une étourderie, mais une bêtise : Pourquoi voudrais-tu qu'ils modifient ton message ? Evite de reporter sur les autres tes erreurs.
Cordialement.
@Kalish : Je n'ai pas relevé la coquille car j'ai lu directement ce que tu voulais dire et qui correspndais à des banalités connues de tous.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ça ne risque pas!Je suis d'accord c'était un peu la question, mais je crois qu'on a eu de bonnes réponses, c'est en tout cas ce que j'attendais. Ce qu'on peut dire c'est que ça marche, et après voir pourquoi ça marche. Par contre je suis un peu déçu que tu n'aies pas trouvé de primitive à e^(sin(x)/x Tryss
En fait, j'aime bien la méthdoe de Laplace pour les cas où ça marche car la méthode est systématique.
d/dt se transforme en .p
d/dp se transforme inverse en .t
Un pôle double, c'est une dérivée de la fraction rationnelle avec le pôle simple, d'où le .t en original.
Après, c'est sûr que cela ne marche pas avec toutes les EDO.
Si c'était le cas, plus personne n'utiliserait de méthode "recette de cuisine" et préférerait une méthode systématique.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
@gg0 Je sais, mais j'étais tellement persuadé d'avoir écrit homogène que ça me vexe à un point...J'ai l'impression d'avoir Alzheimer, ça n'était pas une accusation sérieuse, même si ça en a l'air. Personnellement je n'aurais aucun mal à imaginer que le monde entier soit contre moi, mais bon, il faut avouer que ça couterait cher pour peu de fun, c'est la seule façon rationnelle que j'ai d'écarter l'hypothèse, parce que autrement, tous les éléments de ma vie concordent.
T'affole pas Kalish,
ça arrive à tout le monde de mettre un mot pour un autre, et même de relire sans le voir. N'en fait pas un problème, sinon tu vireras vite à la paranoïa.
Cordialement.
Quitte à chipoter :
d/dp se transforme inverse en (-1).t.
Tu vois Kalish, je l'ai pas vu à la relecture et personne ne l'a relevé car cela n'a aucune incidence dans cette discussion.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
