Produit continu, intégrale multiplicative ?

[Bloud]

Salut à tous!

On peut dire en quelque sorte que la notion d'intégrale permet de prolonger la notion de somme du domaine du discret à celui du continu. Existe-t-il une notion équivalente pour le produit. Une sorte d'intégrale multiplicative ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[rvz]

Le produit est peu sympathique à définir. En général, on passe au log et on regarde que la série des ln converge. On définit

Donc, je pense qu'on peut faire à peu près la même chose en définissant


Ca a l'air de vérifier les propriétés auxquelles on s'attend....
Qu'en pensez vous ?

__
rvz

[Bloud]

Effectivement, ça a l'air "cohérent". On pourrait s'attendre à avoir quelque chose de ce style. Je vais étudier le problème pour voir s'il y a des propriétés remarquables.
Quelqu'un sait si ce que rvz a défini existe déjà dans la littérature ?

[Bloud]

En tout cas, à première vue, certaines propriétés de base doivent être conservées comme la transitivité par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bloud]

Par contre je me demande quelle pourrait en être l'interprétation ? L'intégrale correspond dans certains cas à une aire et sert pour des calculs de primitives. A quoi pourrait servir ce "produit continu" ?

[rvz]

lol

Je connais pas beaucoup de gens qui cherchent l'utilité de ce qu'ils font

A quoi ça sert ? Ba, c'est pas très clair....

__
rvz

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[martini_bird]

Salut,

les solutions d'une équa diff du type y'+b(x)y=0 s'écrivent à constante près . Je ne sais pas si on peut chercher une interprétation géométrique de ce côté...

Sinon, on peut intégrer sur n'importe quel groupe topologique, pourvu qu'on ait une mesure dessus, mais dans ton cas, il ne s'agit pas d'une mesure (pas d'additivité).

Cordialement.

[Mahow]

Bonjour à tous

Cela fait depuis la rentrée scolaire que je travaille sur les intégrales multiplicatives ..

En effet la formule proposée au début est forte intérressante et EXACT...
(démonstration vérifiée par ma professeur de mathématiques)
Il suffit de considérer une subdivision, comme on a le cas pour la somme, par passage à la limite, CQFD.
Bref,

Pour savoir à quoi ça sert :

Je me suis longtemps posé la question, mais j'ai défini un opérateur (genre intégrale) puis son opérateur réciproque :

en effectuant qques calculs dessus, j'ai remarqué que ça servait pour décrire les croissances des fonctions
et c'est assez efficace, ça permet de classe selon : polynomiale, exponentielle, factorielle....

Une autre utilité : on peut construire une sorte de factorielle "continue" mais il ne s'agit pas de la fonction Eulerienne...
J'ai pu construire deux nombres dans le genre de e ....
Je cherche encore s'ils sont transcandants (ma prof ne peut plus m'aider parait -il, ça la dépasse)
(donc je ferai une question ouverte sur eux)

Une autre utilité : si 0 est inclus dans un interval, alors le produit continu N'est PAS nul !!!
(Etrange non ? les ensembles discrets ..)

Une dernière utilitée : j'ai pensé et pense encore que l'on peut l'appliquer à la fonction Dzeta de Riemann, j'ai deja pas mal de formule sur ça, et je suis en étude dessus...

L'une des grandes propriétés de l'opérateur (que je nomme Guerandien, dû au nom de famille de ma "petite copine") est que Omega fg = Omega f * Omega g


voilà voili et voilou ....

Pour les transcandances je ne trouve pas grand chose ... faut dire que personne ne s'y connait, et jusque ici pas de livre en parlant (mon budget est limité à 5€ par semaine .... à 40€ le livre, puis trouver le bon ... surtout avec le voyage, car dans mon coin voilà quoi ! )

Bon j'arrete ce long message pourri, promis.

[invite52487760]

Ce que tu as de la chance "Mahow" !
A 17 ans tu connais tous ça ! c'est vraiment formidable !
Je m'incline ! chapeau ! bravo à toi et bonne continuation !

[God's Breath]

Une autre utilité : si 0 est inclus dans un interval, alors le produit continu N'est PAS nul !!!
(Etrange non ? les ensembles discrets ..)

J'ai pas compris grand chose au truc, mais une chose me paraît bizarre : si 0 appartient à l'intervalle, on a un problème avec le logarithme.

[Mahow]

Merde j'avais écris un long message, le pc a foutu une merde et tout est supprimé...

Donc je disais en gros que j'utilisais des prolongements analytique mais je ne sais plus trop ça fait un an que je ne suis plus allé sur le domaine de R.

Aujourd'hui (un an après), j'ai bien appris mes maths lol, et j'essaye d'appliquer ça à la Théorie des Foncteurs, appremment, je crois que les Guérandiens pourraient former un Espace Annelé isomorphe à une Variété Algébrique Affine, permettant donc l'étude de courbes unicursales abstraites ? je ne sais pas, c'est à revoir.

J'en suis aussi aux Variétés Différentielles (ou Topologiques parfois) , et un lien fort avec les Espaces de Banach...
Comme plongement analytique de la composée de deux Guérandiens...

J'en parlerais un jour si j'ai le temps (et l'envie)

[ericcc]

J'ai la rate qui se dilate, l'estomac qu'est tout plat et les maths qui se font la patate...

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[Ledescat]

Cette histoire de produit continu semble dissimuler de biens jolis résultats, n'hédite pas à nous en faire part mahow !

[TersaKen]

Personnellement, ça me semble bizarre ...
Une somme dans le "continu" parait logique ... Quand on integre ( somme ) on fait la somme de la valeur de chaque point de la courbe, que l'on multiplie par dx ( c'est a dire, un nombre aussi petit que l'on veut ). On pourrait penser naivement que la somme de toutes les valeurs d'un interval serait egal a l'infini, puisqu'il y a une infinité de valeur ... Effectivement, il y a une infinité de valeur, mais elles sont multipliés par dx ... si on prend un dx" plus petit, ( imaginons deux fois plus petit ) , on pourrait doubler le nombre d'element additionnés ( la somme ) Or, vu que chacun des elements de cette somme infini est multiplé par dx" , c'est comme si l'on n'avait " rien fait " ...
Mais sur le cas de la multiplication ...
Je ne sais pas quel type d'integral vous voulez ...
Imaginons que chacun des elements de cet interval soit multiplié par dx, peut importe la valeur de l'element, on pourra choisir un dx aussi petit que l'on veut ... chaque élément aurait donc une valeur comprise entre -1 & 1 ( exclus ). Le produit de telles valeurs conduira à 0 ...
Imaginons maintenant qu'il s'agit d'une multiplication de chacun des elements de l'interval ... ( sans la multiplication par dx ) On pourrait alors, choisir un dx aussi petit que l'on le veut et ainsi trouver une infinité de valeurs multipliées entre elles ... Le produit risque fort de tendre vers un infini, voir vers 0 ...
Je ne sais pas si je suis clair, mais je doute que la multiplication dans le domaine du continu ait un sens ...

[breukin]

L'expression Π_(a,b) f(t) est sans doute impropre, car il manque l'équivalent du dt des intégrales.

Reprenons en prenant la définition de l'intégrale par une limite :

I = lim exp Σ ln f(t_n)Δt = lim Π_(a,b) f^Δt(t_n)

Voilà pourquoi quand f s'annule, le produit ne s'annule pas, parce que 0 est élevé à la puissance 0 (le Δt qui tends vers 0)

Ainsi la notation continue devrait s'écrire : Π_(a,b) f^dt(t)

f(t) ne doit pas être multiplié par dt, il doit être élevé à la puissance dt !

[TersaKen]

Si vous considérez une integrale multiplicative, il existe alors, une dérivée " multiplicative "
Sinon l'intégrale n'aurait pas de sens ... d'ailleurs la notion de derivée fonctionne si l'on travaille dans le discret, quitte a changer les regles de " dérivations " et d'intégrations ; cependant, les relations d'additivités etc restent inchangées ...
Par exemple, on peut définir une dérivée dans le discret A'(n) = A(n+1)-A(n)
Imaginons la derivé fonction A(n) = n² ; A'(n) = 2n+1 ( Remarquons que la derivée telle que je la définie ici , de toutes les fonctions polynomiales ressemble etrangement a la dérivée dans le continu ; - on retombe sur la formule de taylor en creusant un peu plus - )
On peut y trouver un aspect pratique ; On veut calculer la somme de tous les n. on a donc a(n) = n ; Si A(n) est la " primitive " de a(n), on aura la valeur voulue ... On remarquera que (n²-n)/2 que l'on " dérivera " selon nos regles,
sera égale à n [ 0.5* ( (n²)' - (n) ' ) ] = 0.5*(2n+2) = n ;
Si on veut la somme des 3 premiers entiers, il suffit donc ( il faut compter le 0 ) de faire (4²-4)/2 = 12/2 = 6 ; D'une façon plus générale, on a
[(n+1)²-(n+1)]/2 ; (n²+n) / 2 [ on retrouve la formule de Gauss ] ...

Tout ça pour dire qu'on peut effectivement manipuler des objets comme l'intégrale et la dérivation ; mais qu'elles sont fortement liées ... Si on considere un tel produit, il faut trouver une dérivée ... F'(x) = F(x+h)/F(x) ?
Je doute que cela mene a quelque chose ...

Bref, si quelqu'un a quelque chose de concret ( interprétation graphique, démonstration ou autre ; ) je suis preneur

[acx01b]

bonjour

pour moi la formule serait plutôt



ainsi il n'y a plus le problème des valeurs négatives que prendrait f, et la formule est même étendue aux complexes

[acx01b]

bonjour

je pense que la formule serait plutôt



ainsi il n'y a plus le problème des valeurs négatives que prendrait f, et la formule est même étendue aux complexes et autres dimensions

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[Ledescat]

Et on a bien :



(dans le cas réel déjà)

Peut-être que tout cela ne sert à rien, mais je sens qu'on peut trouver de jolis résultats et plein d'analogies entre discret et continu..

[breukin]

Je pense que cela ne devrait pas s'appeler une intégrale multiplicative, mais une multiplicale.
Et l'opération inverse s'appellerait la démultipliée (par exemple).

Par exemple, la (une) multiplicale de t, c'est t^te^–t.
Et la démultipliée de t^te^–t, c'est t.

[breukin]

Enfin, il faudrait peaufiner les termes, car il y a l'opération d'intégration qui donne une primitive (deux mots n'ayant pas la même racine), et l'opération de dérivation qui donne la dérivée (même racine).

[breukin]

Il reste aussi à trouver un symbole graphique, car on ne peut prendre pi majuscule.

[Ledescat]

Oui, mais la marge de manoeuvre est limitée avec le latex, donc on se contentera du Pi pour le moment ..

Encore quelques propriétés immédiates, dans le cas f réelle positive (mais se généralise).


Sur [a,b] où f ne s'annule pas:



(qui est conséquence directe de l'intégrale multiplicative d'un produit).


On peut appeler multiplicale de f toute application de la forme:

avec a réel quelconque.

Et si F1 et F2 sont des multiplicales de f, alors elles diffèrent d'un facteur multiplicatif.




Bref, des propriétés à la pelle..

[God's Breath]

bonjour

je pense que la formule serait plutôt



ainsi il n'y a plus le problème des valeurs négatives que prendrait f, et la formule est même étendue aux complexes et autres dimensions

On prend quelle détermination de ?

J'aimerais voir le calcul de , puis celui de .

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[CM63]

L'exponentiation directe est un peu génante, il faut plutôt prendre "l'exponentiation logarithmique" :

(a,b) --> a^lnb = b^lna

Notons "*" cette loi de composition. Tout se déduit alors de l'isomorphisme de corps de IR(+,x) vers IR(x,*) définie par la fonction exp .

[breukin]

Pour God's Breath, on arrive à :

П_(a,b)(e^it)^dt = exp(½i(b²–a²))

Donc :

П_(0,4π)(e^it)^dt = exp(8iπ²)
П_(–2π,2π)(e^it)^dt = 1
П_(0,2π)(e^it)^dt = exp(2iπ²)
П_(–π,π)(e^it)^dt = 1
П_(0,√π)(e^it)^dt = i
П_(0,√2π)(e^it)^dt = –1
(la racine couvre 2π)

[God's Breath]

Pour God's Breath, on arrive à :

?_(0,4<pi>)(e^it)^dt = exp(8i<pi>²)
?_{(–2<pi>,2<pi>)}(e^it)^dt = 1
?_(0,2<pi>)(e^it)^dt = exp(2i<pi>²)
?_{(–<pi>,<pi>)}(e^it)^dt = 1
?_(0,?<pi>)(e^it)^dt = i
?_(0,?2<pi>)(e^it)^dt = –1
(la racine couvre 2<pi>)

C'est bien ce qui me gêne, on ne trouve pas le même résultat sur et sur , ni sur et , alors que l'on "multiplie" les mêmes valeurs de par périodicité.

Une formule qui n'est pas invariante par translation pour les fonctions périodiques me semble de peu d'intérêt.

[breukin]

C'est quoi l'intérêt de l'invariance par translation d'une formule pour une fonction périodique ?

Par ailleurs, pour que la formule soit invariante par translation, il faudrait que ce soit le logarithme de la fonction qui soit périodique.

Ainsi, on a bien :

П_(a,b){exp(e^it)}^dt = П_(a+c,b+c){exp(e^it)}^dt

[God's Breath]

C'est quoi l'intérêt de l'invariance par translation d'une formule pour une fonction périodique ?

Par ailleurs, pour que la formule soit invariante par translation, il faudrait que ce soit le logarithme de la fonction qui soit périodique.

Ainsi, on a bien :

?_(a,b){exp(e^it)}^dt = ?_(a+c,b+c){exp(e^it)}^dt

Ce que je veux dire, c'est que prend les mêmes valeurs sur et sur , et que je suis en droit de demander pourquoi, si l'on multiplie les valeurs, prises sur, on ne trouve le même résultat que si on les multiplie, prises sur

De la même façon, je suis en droit d'attendre que l'on étende la formule en , ce qui est visiblement faux pour sur .

[breukin]

Après calcul, on trouve la formule générale :

П_(0,a)(e^ibt)^dt = exp(½iba²)

Donc ce qui est prétendu "visiblement faux" est parfaitement juste.