somme d'exponentielles complexes ==> presque périodique ?

[acx01b]

Bonjour !
Comment montrer que si les sont réelles et que

converge absolument, alors est presque périodique
c'est à dire que pour tout , il existe tel que

?

Merci !
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[interferences]

Bonjour,

Si tous les sont nul et que :



Alors la fonction est constante et on peut prendre la période et le que l'on veut.

Et pour les autres cas, il existe un tel que pour tout .

Au revoir

[Seirios]

Il y a tout de même un certain nombre de cas intermédiaires entre "les sont tous nuls" et "les sont tous non nuls"...

[acx01b]

Je m’aperçois que dans la définition de la presque périodicité, il faut ajouter la contrainte que parce que sinon on choisit

[A voir en vidéo sur Futura]

[interferences]

Re,

Ah oui c'est une presque périodicité.
J'ai mal lu l'énoncé dsl.

Au revoir

[acx01b]

Donc si j'écris que


et avec

[acx01b]

Donc si j'écris que
c'est le reste (petit) une fois qu'on a approximé le réel par une fraction



et avec

prenons seulement les N premiers termes de la série :
si ça marche avec une somme finie, ça marche avec la série puisqu'on la suppose absolument convergente.

donc ce qu'il faut c'est que les soit aussi petits que l'on veut (en choisissant le bon p)

plus est grand, plus est petit,

et on espère que en choisissant bien son p, on a tous les inférieurs à un certain epsilon fixé à l'avance

et ça c'est compliqué à montrer !

je me demande même si il n'y a pas une histoire comme quoi ça serait équivalent à l'hypothèse de Riemann, non ça ne vous rappelle rien ?

et ce problème de la presque périodicité des sommes/séries d'exponentielles complexes ça a une grosse implication en physique quantique (les fonctions d'ondes ont cette forme si le Hamiltonien est constant)

[acx01b]

apparemment si j'ai bien compris Almost Periodic Functions and Differential Equations, chapter I, property 6 qui utilise le "Bochner's theorem".

on note la fonction décalée de :

on considère l'ensemble des fonctions continues et bornées de avec la norme

• on montre que est continue et presque périodique si et seulement si l'ensemble des où est un compact de
  
• ensuite pour montrer que si et sont continues et presque périodiques alors est continue et presque périodique, on utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite d'éléments d'un compact admet une sous-suite qui converge vers un élément de ce compact, et réciproquement ça permet de caractériser les ensembles compacts.
  
• on prend une suite de réels . ainsi la suite (de fonctions) admet une sous-suite qui converge vers un élément du compact formé par les . et de la suite on extrait une sous-suite qui converge vers un élément de .
• Ainsi toute suite admet une sous-suite qui converge vers un élément de , donc est compact et donc est continue et presque périodique (ouf).

On applique ça à une somme finie d'exponentielles complexes, puis à une série absolument convergente d'exponentielles complexes : CQFD.

[acx01b]

C'est marrant parce qu'à la base c'est un problème d'analyse, qui amène à un problème d'arithmétique ou de théorie des nombres non trivial. Et c'est en transformant le problème d'analyse de départ en un problème de topologie (histoire de compacts) qu'on a enfin une preuve simple.

D'ailleurs je me demande si la preuve de topologie est en soit une preuve du problème de théorie des nombres (du message #7) ?