Structures

[Victor.S]

Bonjour.

Je m'initie à quelques notions de théorie des modèles et j'aimerais ne pas faire de confusion.
Je vois le terme "structure" et "morphisme" qui sont définis formellement en théorie des modèles.
Je remarque modestement que ces notions s'appliquent bien à ce que je connais, mais je me demande si ça continuera : si ces définitions formelles sont une spécificité technique à la théorie des modèles ou si les définitions peuvent s'appliquer à toute autre théorie sans problème.

Je vois, je ne l'ai pas encore abordé, dans le premier livre "théorie des ensembles" de Bourbaki un dernier chapitre "structures" je me demandais s'il s'agissait là d'une étude par un autre point d'approche des mêmes "structures" que dans la théorie des modèles ; en cas de réponse négative dans quels domaines mathématiques ces "structures" sont utilisées ?
Je demande au passage, puisqu'une logicienne m'a signifié que certains passages de Bourbaki concernant la logique n'étaient plus d'actualité, si ce chapitre est toujours d'actualité.

(Petite question annexes sans rapport : y a-t-il un terme pour désigner une "application" mais avec comme départ et arrivée des classes (et non des ensembles) ?)
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[Médiat]

Bonsoir,

Les notions de structure et de morphisme en théorie des modèles correspondent bien à ce que l'on en attend, et par définition s'appliquent à toutes les théories.

Je ne sais pas avec quel livre vous travaillez, je ne saurais trop vous conseiller le Chang et Kiesler (model theory)

(Petite question annexes sans rapport : y a-t-il un terme pour désigner une "application" mais avec comme départ et arrivée des classes (et non des ensembles) ?)

Dans ZF, les classes ne sont pas des objets, il ne peut donc y avoir des "applications" entre elles, (on ne saurait pas les définir) ; par contre du côté de NBG, cela doit exister ...

[Victor.S]

Je ne sais pas avec quel livre vous travaillez, je ne saurais trop vous conseiller le Chang et Kiesler (model theory)

J'utilise le livre de la bibliothèque mathématique par Daniel Lascar, je prend note, merci bien.

Je pensais effectivement à une "traduction" du terme "application" en termes de classes, mais je n'ai pas trouvé.
Merci bien, bonne soirée.

[PlaneteF]

(...) le Chang et Kiesler (model theory) (...)

Bonjour Médiat,

Par rapport au "David Marker" (qui est plus récent), cela donne quoi ?

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'utilise le livre de la bibliothèque mathématique par Daniel Lascar, je prend note, merci bien.

Je pensais effectivement à une "traduction" du terme "application" en termes de classes, mais je n'ai pas trouvé.
Merci bien, bonne soirée.

Je ne connais pas le livre de Daniel Lascar, mais je l'ai connu lui il y a ... trop longtemps, j'ai toute confiance en lui.

[Médiat]

Bonjour Médiat,

Par rapport au "David Marker" (qui est plus récent), cela donne quoi ?

Cdt

Bonsoir,

Désolé, je ne connais pas, je viens de voir que son travail est disponible sur le net, je vais y jeter un œil (en tout état de cause, il aborde la stabilité ce qui est un bon point).

[Seirios]

Par rapport au "David Marker" (qui est plus récent), cela donne quoi ?

Pour ma part, je l'aime beaucoup : des livres que j'ai feuilletés sur le sujet (même s'il n'y en a pas tant que ça), c'est celui qui me convient le mieux. Après c'est aussi une question de goût.

[Mocassins]

Bonsoir,

Dans "Logique mathématique" de René Cori et Daniel Lascar, le terme "fonction" est utilisé pour désigner un objet qui se comporte comme une application entre deux classes, parce qu'il est plus pratique d'avoir une notation de type fonctionnelle que de manipuler des formules fonctionnelles.

exemple: la fonction aleph de la classe des ordinaux dans celle des cardinaux.

Les structures définies dans les Bourbaki sont utilisées dans de nombreux domaines (c'est une des spécificités des Bourbaki), par exemple le 1er livre de topologie générale parle de structures d'espaces topologiques, d'espaces uniformes, de groupes topologiques...

[Victor.S]

Bonsoir,

Dans "Logique mathématique" de René Cori et Daniel Lascar, le terme "fonction" est utilisé pour désigner un objet qui se comporte comme une application entre deux classes, parce qu'il est plus pratique d'avoir une notation de type fonctionnelle que de manipuler des formules fonctionnelles.

Ah c'est sympa. Du coup pour spécifier que les classes d'arrivée et de départ son des ensembles il y a un terme ? ^^

Les structures définies dans les Bourbaki sont utilisées dans de nombreux domaines (c'est une des spécificités des Bourbaki), par exemple le 1er livre de topologie générale parle de structures d'espaces topologiques, d'espaces uniformes, de groupes topologiques...

Quand vous dites "spécificité des Bourbaki" vous dites par là que les structures ne sont pas les mêmes que celles de la théorie des modèles ?

[Mocassins]

Du coup pour spécifier que les classes d'arrivée et de départ son des ensembles il y a un terme ? ^^

Oui, ils parlent alors d'application.
Les applications sont des ensembles de couples et donc des objets de la théorie, contrairement aux fonctions qui ne peuvent intervenir dans les formules que sous forme détournée.

Quand vous dites "spécificité des Bourbaki" vous dites par là que les structures ne sont pas les mêmes que celles de la théorie des modèles ?

Ce n'est pas ce que je voulais dire mais c'est le cas.
Les structures de Bourbaki sont des uplets d'ensembles liés à un ensemble de base (topologie, structure uniforme, ordre) et les morphismes sont les applications qui induisent des applications (application des parties, application coordonnée à coordonnée, etc...) envoyant les éléments d'une structure sur celle de l'autre.



Les définitions de structures et morphismes du type théorie des modèles sont intuitivement très pertinentes et même si elles sont peu utilisées explicitement dans l'enseignement des mathématiques, je trouve qu'elles ne sont jamais loin lorsqu'on parle d'autres types de morphismes ou de propriétés de similitude.
Informellement, je dirais que les structures du type Bourbaki sont bien pour parler de propriétés globales, portant sur des parties infinies de l'ensemble de base (ex: structures topologiques, structures uniformes...), et les structures du type théorie des modèles sont bien pour parler de propriétés portant sur des nombres finis d'éléments des ensembles (modèles des théories des ordres, des groupes) et présente l'avantage qu'elles sont "directement" reliées à un langage ce qui permet d'obtenir syntaxiquement des résultats sémantiques.

Il ne faut pas s'inquiéter de se renseigner sur les unes et les autres car elles sont toutes utiles et présentes en mathématiques. Il doit être possible de passer de l'une à l'autre en les torturant un peu mais elles présentes des affinités avec certains domaines.

(par exemple je doute qu'il existe une application ensemble des topologies sur ensemble des relations sur telle que topologies sur , soit l'ensemble des morphismes )