Bonsoir tout le mondes svp j'ai un problème avec cet éxerice qui demande de calculé l'intersection entre les deux espaces vectorielle F et G sachant que
F=vect{v1,v2,v3} et G=vect{v4,v5} avec v1=(1,2,3,4) v2=(1,1,1,3) v3=(2,1,1,1) v4=(-1,0,-1,2) v5=(2,3,0,1) après plusieurs tentatives j'ai pas réussi de calculé l'intersection
merci pour votre aide sachant que je suis débutant dans ce cours
Bonsoir.
Il n'y a pas à priori de méthode rapide. Un raisonnement en termes de dimensions permet souvent de circonscrire le problème. ici, G est manifestement de dimension 2 (je te laisse le prouver) donc l'intersection est de dimension 0, 1 ou 2. Si tu es capable de prouver facilement que F est de dimension 3, on conclut que la dimension 0 n'est pas possible, et il ne reste qu'à voir si l'intersection est de dimension 1, ou 2 (dans ce dernier cas, v3 et v4 seront des combinaisons linéaires de v1,v2 et v3).
Une méthode systématique, mais un peu lourde : On prend un vecteur de G, et on essaie d'en faire un vecteur de F (donc engendré par v1,v2 et v3). On prend donc deux réels "connus", a et b (ce ne seront pas des inconnues, mais ils resteront des lettres pour travailler en toute généralité), et on cherche s'il existe des valeurs x, y et z telles que :
V = x.v1+y.v2+z.v3=a.v1+b.v2
On remplace les vecteurs pas des quadruplets, on identifie, et on obtient un système paramétrique à 3 inconnues (x,y,z) et quatre équations. Les solutions quand il y en a, donnent de deux façons l'intersection : Par la condition éventuelle sur a et b pour qu'il y ait une solution non nulle (*) et aussi par les valeurs de x, y et z quand il y a solution.
Voilà, à toi de faire ...
(*) pour a=b=0 il y a toujours la solution nulle x=y=0 où V=0.
Dernière modification par gg0 ; 01/08/2014 à 23h25.
merci bcp GG0 mais j'ai 3 questions
pourquoi posé a et b connu et x y z inconnu ?
et est-ce que on peut faire l'inverse ?
est-ce que quand je résout le système je vais obtenir des conditions sur a et b meme si la solution n'est pas le vecteur nulle par exemple a=0 et b dans R
Voilà une aide :
Soit (x,y,z,t) ∈ F⋂G.
(x,y,z,t) ∈ F donc il existe des réels a, b et c tels que (x,y,z,t)= a*v1 + b*v2 + c*v3
et (x,y,z,t) ∈ G donc il existe des réels d et e tels que (x,y,z,t)= d*v4 + e*v5.
Il te reste à résoudre le système a*v1 + b*v2 + c*v3 = d*v4 + e*v5 (4 équations, 5 inconnues !), au final, tu devrais trouver ta solution
Il y a peut être une autre méthode moins fastidieuse : en fait, il est possible de montrer que la dimension de F⋂G est égale à 1 (je peux t'écrire la démo si tu veux !). Ainsi, F⋂G=vect(qqch), càd que tous les vecteurs de F⋂G sont proportionnelsDonc il suffit d'en trouver un seul qui appartienne à F⋂G et puis on pourra dire que F⋂G=Vect(vecteur trouvé). A vu d’œil, c'est peut être faisable de trouver un tel vecteur ...
Dernière modification par Lepton ; 01/08/2014 à 23h43.
Ben oui ! mais les paramètres sont un peu pénibles à traiter, donc le moins possible sera meilleur. En fait, ça revient à chercher les liens entre les 5 lettres.Envoyé par ayoubbbe
A priori oui. Mais tant que tu ne commences pas le calcul, tu ne sauras pas ce qu'il va donner.est-ce que quand je résout le système je vais obtenir des conditions sur a et b meme si la solution n'est pas le vecteur nulle par exemple a=0 et b dans R
Donc inutile de s'interroger à l'avance, il faut y aller (je ne vais pas faire le travail à ta place, et c'est l'heure de dormir !)
merci pour vos réponses ça ma aidé bcp, reste une seule question c'est que choisir des lettres a et b connu et x y z et inconnu c'est comme si on dit "je vais choisir un vecteur de l'espace vectorielle F qui va s'écrire comme combinaison linéaire de v4 et v5 et je vais chercher quelles sont les vecteurs de Sev G qui s'écrivent de la méme façon ?
est-ce que c'est juste mon raisonnement
En fait on se dit : on va chercher TOUS les vecteurs qui appartiennent à la fois à F ET à G, donc on va chercher TOUS les vecteurs qui peuvent s'écrire à la fois sous la forme a*v1 + b*v2 + c*v3 ET AUSSI sous la forme d*v4 + e*v5 (où a,b,c,d et e sont des réels quelconques !) Et en écrivant le système on va pouvoir le simplifier et ça ne dépendra que d'une variable à la fin normalement puisque F⋂G est de dimension 1 (j'avoue ne pas être très clair ici, j'essaierai de résoudre le système demain tu comprendra mieux
En l’occurrence ici, puisque comme je te l'ai dit on peut montrer que F⋂G est de dimension 1, on a juste besoin d'un seul vecteur de F⋂G, et on les connaîtra tous du même coup, puisque ce sera tous ceux qui lui sont proportionnels
Dernière modification par Lepton ; 02/08/2014 à 00h36.
merci lepton pour les 2 méthode que tu m'a proposé je préfère la première car la manière de trouver f inter G en résolvant le système qui m'interresse pour le moment
Voilà notre système :merci lepton pour les 2 méthode que tu m'a proposé je préfère la première car la manière de trouver f inter G en résolvant le système qui m'interresse pour le moment
a*v1 + b*v2 + c*v3 = d*v4 + e*v5 ⇔
a+b+2c=-d+2e
2a+b+c=3e
3a+b+c=-d
4a+3b+c=2d+e
(on obtient ces équations tout simplement en remplaçant v1,v2,v3,v4 et v5 par ce qu'ils valent)
Normalement il faut présenter le système avec une jolie accolade mais j'arrive pas à la faire ici.
Maintenant il existe plusieurs méthode, par exemple la substitution, ou alors le pivot de Gauss (qui tu ne connais pas je pense).
Donc par substitution, on cherche à exprimer une variable en fonction des autres puis on "remplace" dans les autres équations.
J'ai vraiment la flemme de me lancer dans ce système qui est costaud, mais au final y a moyen de trouver : b=(-18/5)a ; c=(14/5)a ; d=(-11/5)a et e=(2/5)a.
Source : http://www.wolframalpha.com/input/?i...b%2Bc%3D2d%2Be
Pour ce qui est de la résolution à la main du système, tu peux essayer mais si tu n'en a jamais fait c'est pas le plus simple que tu puisses trouver, je pense que c'est assez pénible. Il vaut mieux d'abord apprendre à résoudre des systèmes simples. D'ailleurs j'ai trouvé cet exercice sur internet et ils demandent juste la dimension de F⋂G, pas de le calculer explicitement, parce que le système est trop ch*ant je pense
Donc voilà, ici toutes les variables dépendent de a mais a est quelconque !
Donc les vecteurs de F⋂G sont exactement les vecteurs de la forme a(1,2,3,4)-(18/5)a(1,1,1,3)+(14/5)a(2,1,1,1) (où à est un réel quelconque)
= a((1,2,3,4)-18/5(1,1,1,3)+14/5(2,1,1,1)) (je factorise par a)
=a((3, 6/5 ,11/5 ,-4))
Donc F⋂G=Vect((3, 6/5 ,11/5 ,-4))=Vect((15,6,11,-20)).
Finalement : F⋂G=Vect((15,6,11,-20)))
Dernière modification par Lepton ; 02/08/2014 à 11h15.
Je n'ai pas tout lu mais comment tu fais pour savoir si un vecteur u est dans le sous E.V. défini par une famille de vecteurs {a,b,c..} ?
dans le même ordre d'idée, comment trouves-tu une base du complémentaire du sous E.V. défini par une famille de vecteurs {a,b,c..} ?
merci lepton oui je sais que c'est péniblej'ai essayé de résoudre avec la méthode de pivot de gauss mais je me tombe tjr sur des variables qui dépend tous d'une seule constante telle que quand je multiplie c'est scalaires par les vecteurs je me trouve pas l'égalité entre les combinaisons linéaires de {v1 v2 v3 } et {v4 V5} mais finalement j'ai trouvé le vecteur qui engendre cette intersection
Je suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire, mais si tu as trouvé le vecteur qui engendre l'intersection alors c'est bon
Tu trouves bien (15,6,11,-20) du coup ? (enfin un vecteur proportionnel quoi)
pivot de gauss ? mais non ! pourquoi ?
si u est dans le sous espace vectoriel de {a,b,c..} alors si j'enlève de u la partie colinéaire à a, puis à b, puis à c, puis.... j'obtiens 0.
et si le résultat ne fait pas 0, alors c'est que u n'est pas dans le sous E.V.
Dernière modification par acx01b ; 02/08/2014 à 20h48.
oui lepton je parle de ta solution : F⋂G=Vect((15,6,11,-20)))
