Module projectif

invitecbade190 · 05/08/2014, 21h56

Bonjour à tous,

J'ai quelques lacunes qui m’empêchent de comprendre la démonstration de la proposition suivante :

Proposition :

Soit $\text{[math]}$ un anneau local et soit $\text{[math]}$ un module projectif de type fini sur $\text{[math]}$ .
Alors, le module $\text{[math]}$ est libre.

Preuve :

Soit $\text{[math]}$ l'idéal maximal de $\text{[math]}$ . Le quotient $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - espace vectoriel de dimension finie. Choisissons une famille $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dont les classes modulo $\text{[math]}$ constituent une base de $\text{[math]}$ ., et soit le morphisme $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ .

Par construction, la flèche $\text{[math]}$ induite par $\text{[math]}$ est bijective, et en particulier surjective. On déduit du lemme de Nakayama que $ p $ est surjective. Soit $\text{[math]}$ son noyau. Comme $\text{[math]}$ est projectif, il existe un isomorphisme : $\text{[math]}$ , modulo lequel $\text{[math]}$ est la seconde projection. On en déduit, en quotientant modulo $\text{[math]}$ un isomorphisme : $\text{[math]}$ modulo lequel $\text{[math]}$ est la seconde projection. Mais, on a signalé çi - dessus que, $\text{[math]}$ est un isomorphisme, en conséquence, $\text{[math]}$ . L'isomorphisme $\text{[math]}$ assure par ailleurs que $\text{[math]}$ s'indentifie à un quotient de $\text{[math]}$ , et en particulier, de type fini, on déduit du lemme de Nakayama, que $\text{[math]}$ . Ainsi, $\text{[math]}$ .

Questions :

$\text{[math]}$ Comment se construit l'isomorphisme : $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$ Pourquoi le quotient de $\text{[math]}$ qui s'identifie à $\text{[math]}$ est de type fini, et pourquoi, par le lemme de Nakayama, cela se traduit par dire que $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**gg0** · 06/08/2014, 11h12

Voir http://www.les-mathematiques.net/pho...883#msg-976883

**acx01b** · 06/08/2014, 11h32

c'est infernal toutes ces définitions qu'il faut essayer de capter pour suivre ton énoncer !

gg0 tu arrives à les retenir pas cœur ces définitions ?

**gg0** · 06/08/2014, 11h55

Non.

mais "Chentouf" non plus. je ne sais pas ce qu'il peut faire de ces nombreuses réponses à des questions sur des sujets qu'il ne maîtrise pas ...

Cordialement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 06/08/2014, 15h00

Les deux premières questions ont été résolues sur le lien donné par @gg0, il reste la dernière question, c'est à dire la question $\text{[math]}$ .
Merci d'avance pour votre aide.

**acx01b** · 06/08/2014, 15h16

chentouf, pourquoi as-tu besoin de résoudre cet exo ? c'est pour un cours que tu suis ?

**minushabens** · 06/08/2014, 15h21

Envoyé par chentouf

Les deux premières questions ont été résolues sur le lien donné par @gg0, il reste la dernière question, c'est à dire la question $\text{[math]}$ .

il n'y a que deux questions...

invitecbade190 · 06/08/2014, 15h31

Oui, c'est pour un cours que je suis.

Sur ce fil j'ai mis seulement deux questions, sur le fil du lien de @gg0, il y'en a trois.
Merci d'avance pour votre aide.

**acx01b** · 06/08/2014, 15h53

c'est un cours de quoi ?

invitecbade190 · 06/08/2014, 17h02

C'est un cours d'algèbre commutative.

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