Bonjour à tous,
J'ai quelques lacunes qui m’empêchent de comprendre la démonstration de la proposition suivante :
Proposition :
Soitun anneau local et soit
un module projectif de type fini sur
.
Alors, le moduleest libre.
Preuve :
Soitl'idéal maximal de
. Le quotient
est un
- espace vectoriel de dimension finie. Choisissons une famille
de
dont les classes modulo
constituent une base de
., et soit le morphisme
défini par :
.
Par construction, la flècheinduite par
est bijective, et en particulier surjective. On déduit du lemme de Nakayama que $ p $ est surjective. Soit
son noyau. Comme
est projectif, il existe un isomorphisme :
, modulo lequel
est la seconde projection. On en déduit, en quotientant modulo
un isomorphisme :
modulo lequel
est la seconde projection. Mais, on a signalé çi - dessus que,
est un isomorphisme, en conséquence,
. L'isomorphisme
assure par ailleurs que
s'indentifie à un quotient de
, et en particulier, de type fini, on déduit du lemme de Nakayama, que
. Ainsi,
.
Questions :
Comment se construit l'isomorphisme :
?
Pourquoi le quotient de
qui s'identifie à
est de type fini, et pourquoi, par le lemme de Nakayama, cela se traduit par dire que
?
Merci d'avance.
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