Théorème de Dini

[invite97d79020]

Bonjour.

Le théorème de Dini stipule qu'une suite monotone de fonction continue d'un compact dans IR qui converge simplement vers une fonction continue converge uniformément.

L'énoncé suggère donc que si la suite n'est pas monotone, il n'y a pas forcément uniformité de la convergence dans le cas générale.

Je cherche un exemple de ce fait avec quelques contraintes supplémentaires, à savoir: Une suite de fonction continue de [0,1] dans [0,1] convergent simplement vers la fonction nulle, mais pas uniformément.

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Pense à une pointe située entre 0 et 1/n, par exemple la fonction affine par morceaux qui varie de 0 à 1 (ou même n, c'est encore plus spectaculaire) sur [0;1/(2n)], revient à 0 en 1/n et vaut 0 ailleurs.

Cordialement.

[inviteea028771]

La fonction linéaire par morceau qui vaut 1 en 1/n, 0 en 2/n et en 0 et 0 partout ailleurs (un pic)

Déjà cette fonction ne converge pas uniformément vers 0 puisque le sup est toujours 1

Par contre, quelque soit x > 0, fn(x) = 0 à partir d'un certain N, et fn(0) = 0 donc on a bien convergence simple vers la fonction nulle

Edit ; grillé, avec le même contre exemple en plus

[invite97d79020]

Hmm, c'est embêtant... Et si plutôt qu'une suite de fonction je considère une homotopie d'une fonction de dans vers la fonction nulle; est-ce qu'une suite de fonction avec croissant discrètement vers , y a-t-il convergence uniforme à votre avis?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Si l'homotopie est continue et si , alors pour tout et tout point , il existe tel que dès que . Par compacité du segment , il est possible de remplacer par un nombre indépendant de x. Ainsi, pour tout , il existe tel que pour tout et tout , nous avons

Considérant l'argument que j'ai donné dans ton autre discussion (quoique je n'ai peut-être que citer ce fait), l'homotopie s'interprète aussi comme un élément de tel que . Dire que uniformément, c'est dire équivalent à dire que est continue en pour tout x ; dans tous les cas, l'équivalence entre les deux notions est assez plausible. La démonstration de la continuité étant l'objet du paragraphe précédent, nous en déduisons la convergence uniforme.

D'ailleurs, la topologie compacte-ouverte (induite pour un espace métrique de la distance uniforme) est en grande partie intéressante justement parce qu'elle ramène des considérations de convergence uniforme à des considérations de convergence séquentielle dans l'espace des fonctions : une suite de fonctions converge vers une fonction donnée dans la topologie compacte-ouverte si et seulement si la suite est uniformément convergente.

Bref, avec une homotopie continue, nous avons bien la convergence uniforme anticipée.

[acx01b]

y a-t-il convergence uniforme à votre avis?

Le Théorème de Dini moi je l'appelle le théorème de convergence monotone, il y a le théorème de convergence dominée (qui parait-il est difficile à démontrer puisque nécessiterait l'intégrale de Lebesgue ?), le théorème de convergence absolue (je ne sais pas quel est le nom mais si on a une suite de fonctions L1 qui converge simplement vers une fonction L1 alors on peut échanger les différentes limites ou intégrales donc la continuité, la dérivabilité, et la régularité C_infini sont toutes préservées),

il y a d'autres théorèmes du même genre ?

et tout ça c'est au programme de math-spé (ou L2-L3 maths), non ?

[invite97d79020]

Merci à tout le monde et à Universus, toujours là pour me tirer d'affaire !