Fractales: Qu'est-ce qu'il y a mathématiquement tout autour de l'ensemble de Mandelbrot ?

[invite5c8a0900]

Bonjour à toutes et à tous,

Comme l'indique le titre de ce post, je me demandais ce que l'on pouvait trouver mathématiquement tout autour de l'ensemble de Mandelbrot ? Ou qu'est-ce que l'on verrait si on faisait un dézoom en partant cette figure ?

Est-ce que l'on y trouve la suite de l'ensemble ? Ou bien rencontrerait-on plein de nouvelles figures fractales ?
Ou autre chose... ?

Merci d'avance pour vos réponses

[JPL]

Contrairement à ce que beaucoup croient l'ensemble de Mandelbrot n'est pas la surface vaguement en forme de cardioïde en bleu foncé sur la première image. C'est la courbe qui limite cette surface. On voit clairement que cette courbe se ramifie à l'infini tout autour de la zone foncée. Les images montrent des zooms successifs dans cette zone périphérique. Le dernier zoom a été traité en couleur. Le facteur d’agrandissement entre la première et la dernière image est de 3 200 000 fois, et cela se poursuite théoriquement à l'infini. Autrement dit on trouve une infinité de mini-ensembles de Mandelbrot en zoomant

zoomb.gif

zoom6aa.gif

[invite5c8a0900]

Merci pour votre réponse

Et verront-on les mêmes choses en dezoomant qu'en zoomant ? Càd une panoplie de petits ensembles de mandelbrot ?

[Médiat]

Bonjour,

Non, l'ensemble de Mandelbrot est entièrement inclus dans un cercle de rayon 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37083ed2]

C'est les c tels que les z(n+1)=z(n)²+c convergent pour certains z0 donnés (pour voir les variations de z0 pour un c donné on peut regarder les ensembles de Julia).
Si c est de module supérieur à 2 ça ne peut converger.

[breukin]

Mais que peut-on voir tout autour alors (en dézoomant) ? D'autres figures fractales ?

La réponse :

Non, l'ensemble de Mandelbrot est entièrement inclus dans un cercle de rayon 2.

Donc en dézoomant de sorte qu'on puisse voir l'intégralité du disque de rayon 2, on voit qu'il n'y a rien à l'extérieur de ce disque.

Cela dit, existe-t-il des objets tels que la répétition à l'infini se produise à la fois en zoomant et en dézoomant ?

[Deedee81]

Salut,

Cela dit, existe-t-il des objets tels que la répétition à l'infini se produise à la fois en zoomant et en dézoomant ?

Oui, bien sûr. l'ensemble triadique de Cantor ou un napperon de Sierpinski (a condition de ne pas se limiter à une figure initiale de taille limitée, évidemment). Il doit y en avoir d'autres.

[invite37083ed2]

Bah suffit de prendre Mandelbrot et de faire l'inverse par rapport au cercle de rayon 2 de tous les points à l'extérieur. ^^

Ou alors on fait mandelbrot avec l'ensemble des c avec les suites z(n+1)=z(n)²+2sin(c)

[invite9dc7b526]

une simple droite du plan est identique vue de près ou vue de loin.

[invite37083ed2]

une simple droite du plan est identique vue de près ou vue de loin.

le point à l'origine et rien aussi. Mais bon, l'intérêt est quelque peut limité ^^.

[Médiat]

Bonjour,

Il ne faudrait pas confondre fractale et autosimilarité.

[Deedee81]

Salut,

une simple droite du plan est identique vue de près ou vue de loin.

C'est vrai, mais j'ai l'impression que breukin voulait parler uniquement de fractales (fractales à toute échelle, y compris en "dézoomant")

[invited3a27037]

@JPL

Bonjour

Es tu sur que l'ensemble de Mandelbrot est une courbe ?

A partir de la définition, ça n'a rien d'évident. La page wiki en français ne parle pas de courbe.

[Superbenji]

Contrairement à ce que beaucoup croient l'ensemble de Mandelbrot n'est pas la surface vaguement en forme de cardioïde en bleu foncé sur la première image. C'est la courbe qui limite cette surface.

Bonjour,
Sauf si je suis aussi dans cette erreur, l'ensemble de Mandelbrot est bien toute cette surface et pas seulement sa frontière.
C'est l'ensemble des points du plan complexe pour lesquelles la suite Z est bornée, ou encore l'ensemble des points dont le Julia associé est connexe, ce qui inclut donc l'intérieur.
N'y y'a t-il pas une confusion avec les ensembles de Julia / ensembles de Julia rempli, dont le premier est bien une frontière, le second incluant son intérieur ?
Ou alors y'a quelque chose qui m'échappe.

[Deedee81]

Bonjour,

Pour que ce soit clair et qu'il n'y ait pas de malentendu, ci-dessus il y a eut un violent croisement de posts et je ne l'avais pas vu. Désolé,

Sauf si je suis aussi dans cette erreur, l'ensemble de Mandelbrot est bien toute cette surface et pas seulement sa frontière.
C'est l'ensemble des points du plan complexe pour lesquelles la suite Z est bornée, ou encore l'ensemble des points dont le Julia associé est connexe, ce qui inclut donc l'intérieur.
N'y y'a t-il pas une confusion avec les ensembles de Julia / ensembles de Julia rempli, dont le premier est bien une frontière, le second incluant son intérieur ?
Ou alors y'a quelque chose qui m'échappe.

J'aurais pensé ça aussi. Pour moi, l'ensemble de Mandelbrot c'est toute la surface et pas seulement sa frontière. A une époque je me suis beaucoup amusé à le programmer avec des zooms sur des parties.

[JPL]

Lis ma réponse précédent ton message.

[JPL]

Mais zoomer est un spectacle prodigieux.

Et pour revenir à la question initiale il n'y a rien autour de l'ensemble de Mandelbrot comme on peut le déduire de la réponde de Médiat. Cet ensemble est une courbe de longueur infinie contenu dans un espace fini. Les couleurs sont une astuce mathématique lié au nombre d'itérations au bout desquelles un point calculé dans ce cercle "s'échappe" de l'ensemble. Elles sont donc extérieures à l'ensemble lui-même, mais cela fait plus joli

[invite5c8a0900]

Bonsoir et merci de votre aide

Mais que peut-on voir tout autour alors (en dézoomant) ? D'autres figures fractales ?

[JPL]

Je fais amende honorable pour l'ensemble de Mandelbrot. C'est bien la surface de couleur uniforme. Ma mémoire a été induite en erreur par le souvenir une ancienne lecture dont je n'ai pas retrouvé la trace. Il y a toutefois une explication à mon erreur : une des définitions qu'on rencontre pour les fractales est de dire que ce sont des figures dont la dimension fractale* est supérieure à la dimension euclidienne. Or la surface unie ressemblant vaguement à une cardioïde a bien une dimension de 2, comme toute surface tandis que sa limite a une dimension euclidienne de 1 (comme toute ligne) mais une dimension fractale de 2, ce qui correspond à la définition.

* Cette dimension est souvent présentée comme la dimension de Hausdorff-Besicovitch, ou du moins le contexte le suggère. En fait c'est faux et c'est vrai à la fois. Faux parce que l'expression générale de la dimension de Hausdorff-Besicovitch est très abstraite (elle est d'ailleurs souvent trop difficile à calculer pour être utilisée). Vrai parce que dans les fractales linéaires simples telles que la courbe de von Koch, les dimensions d'homothétie et de Hausdorff-Besicovitch sont égales.
Si j'ai bien compris les explications de Mandelbrot dans l'appendice mathématique de son livre "Les objets fractals", cette dimension semble être la dimension de recouvrement de Pontrjagin et Schnirelman.