Anneau principal

[invitecbade190]

Bonsoir,

Pourquoi tout anneau principal qui n'est pas un corps est de dimension de Krull égale à ?

Voici la définition que j'ai, d'un anneau intègre de dimension de Krull :

Définition :

Un anneau intègre est de dimension si et seulement si :
- possède un idéal premier non nul.
- Tout idéal premier non nul de est maximal.

Merci d'avance.
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[Mocassins]

Bonsoir,


Tu peux considérer un élément non inversible et montrer que tout idéal maximal de contenant est premier et non nul.

L'existence d'un idéal maximal contenant est automatique avec l'axiome du choix, elle s'obtient aussi en considérant la réunion des idéaux propres de contenant parce que est principal.
Je pense qu'une fois que tu auras fait ça tu trouveras le moyen de vérifier la seconde condition.

[invitecbade190]

Merci beaucoup.
Alors là, tu utilises le fait que tout idéal d'un anneau est contenu dans un idéal maximal, en utilisant le lemme de Zorn, n'est ce pas ?.
Et comme tout idéal maximal est premier, alors, tout idéal est contenu dans un idéal premier, non ?
Pour la suite, je vois mal comment partir ?
Merci d'avance pour votre aide.

[Mocassins]

Oui c'est ça. (et sans le lemme de Zorn tu peux faire avec la réunion dont je parle)

Pour la suite, pour un idéal premier et un idéal contenant , étant principal, il existe tels que .

donc divise , il s'agit donc de déterminer les diviseurs de sachant que est premier...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Oui, voilà, merci.
Soit un idéal premier non nul de , il est contenu dans un idéal maximal . C'est à dire : .
Si est premier, alors est irréductible et , donc, ou . Or, , parce que sinon . ( Absurde ). Par conséquent, et donc :
Par conséquent : est maximal.
Correct ?
Merci. Bravo à toi. Bonne continuation.
Dis moi si c'est correct stp avant que tu pars. Merci.

[Mocassins]

C'est correct, sauf peut-être quand tu déduis du caractère irréductible de : les diviseurs d'un irréductible sont les inversibles et ses associés.
(j'ai oublié de préciser que est non nul aussi)

Bonne nuit!

edit: je n'avais pas fait attention au fait que j'utilise le symbole pour parler de deux choses différentes; je suppose que ça n'a pas posé de problèmes

[invitecbade190]

Ah d'accord, merci. Tu peux me montrer stp, comment rectifier mon message : si est irréductible, et , comment passer à la suite ? Je vois mal comment achever la démonstration, en considérant inversible ou l'associé d'un inversible.
Merci d'avance.

[invitecbade190]

On a : . Si est inversible, alors : ( absurde ), si est un associé d'un inversible , alors avec et inversibles, par conséquent : ( absurde ). Par conséquent : . Correct ?
Merci d'avance.

[Mocassins]

Les éléments irréductibles d'un anneau commutatif sont les éléments dont les seuls diviseurs sont les inversibles et les associés à . (pas à un inversible quelconque)
Un élément est dit associé à si divise et divise , ou de manière équivalente si .
(Si est intègre on a en plus l'équivalence avec l'existence d'un inversible tel que ; par ex les associés de sont les .)

Avec la deuxième caractérisation et ton traitement du cas où est inversible, c'est bon.