Anneau principal

invitecbade190 · 08/08/2014, 22h55

Bonsoir,

Pourquoi tout anneau principal qui n'est pas un corps est de dimension de Krull égale à $\text{[math]}$ ?

Voici la définition que j'ai, d'un anneau intègre de dimension de Krull $\text{[math]}$ :

Définition :

Un anneau intègre est de dimension $\text{[math]}$ si et seulement si :
- $\text{[math]}$ possède un idéal premier non nul.
- Tout idéal premier non nul de $\text{[math]}$ est maximal.

Merci d'avance.

invite8133ced9 · 09/08/2014, 00h20

Bonsoir,

Tu peux considérer un élément non inversible $\text{[math]}$ et montrer que tout idéal maximal de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ est premier et non nul.

L'existence d'un idéal maximal contenant $\text{[math]}$ est automatique avec l'axiome du choix, elle s'obtient aussi en considérant la réunion des idéaux propres de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ parce que $\text{[math]}$ est principal.
Je pense qu'une fois que tu auras fait ça tu trouveras le moyen de vérifier la seconde condition.

invitecbade190 · 09/08/2014, 00h38

Merci beaucoup.

Alors là, tu utilises le fait que tout idéal d'un anneau est contenu dans un idéal maximal, en utilisant le lemme de Zorn, n'est ce pas ?.
Et comme tout idéal maximal est premier, alors, tout idéal est contenu dans un idéal premier, non ?
Pour la suite, je vois mal comment partir ?
Merci d'avance pour votre aide.

invite8133ced9 · 09/08/2014, 01h05

Oui c'est ça. (et sans le lemme de Zorn tu peux faire avec la réunion dont je parle)

Pour la suite, pour $\text{[math]}$ un idéal premier et $\text{[math]}$ un idéal contenant $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant principal, il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , il s'agit donc de déterminer les diviseurs de $\text{[math]}$ sachant que $\text{[math]}$ est premier...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 09/08/2014, 01h34

Oui, voilà, merci.

Soit $\text{[math]}$ un idéal premier non nul de $\text{[math]}$ , il est contenu dans un idéal maximal $\text{[math]}$ . C'est à dire : $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ est premier, alors $\text{[math]}$ est irréductible et $\text{[math]}$ , donc, $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Or, $\text{[math]}$ , parce que sinon $\text{[math]}$ . ( Absurde ). Par conséquent, $\text{[math]}$ et donc : $\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$ est maximal.
Correct ?
Merci. Bravo à toi. Bonne continuation.

Dis moi si c'est correct stp avant que tu pars. Merci.

invite8133ced9 · 09/08/2014, 01h54

C'est correct, sauf peut-être quand tu déduis $\text{[math]}$ du caractère irréductible de $\text{[math]}$ : les diviseurs d'un irréductible sont les inversibles et ses associés.
(j'ai oublié de préciser que $\text{[math]}$ est non nul aussi)

Bonne nuit!

edit: je n'avais pas fait attention au fait que j'utilise le symbole $\text{[math]}$ pour parler de deux choses différentes; je suppose que ça n'a pas posé de problèmes

invitecbade190 · 09/08/2014, 02h01

Ah d'accord, merci. Tu peux me montrer stp, comment rectifier mon message : si $\text{[math]}$ est irréductible, et $\text{[math]}$ , comment passer à la suite ? Je vois mal comment achever la démonstration, en considérant $\text{[math]}$ inversible ou l'associé d'un inversible.

Merci d'avance.

invitecbade190 · 09/08/2014, 02h13

On a : $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est inversible, alors : $\text{[math]}$ ( absurde ), si $\text{[math]}$ est un associé d'un inversible $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ inversibles, par conséquent : $\text{[math]}$ ( absurde ). Par conséquent : $\text{[math]}$ . Correct ?
Merci d'avance.

invite8133ced9 · 09/08/2014, 10h40

Les éléments irréductibles d'un anneau commutatif sont les éléments $\text{[math]}$ dont les seuls diviseurs sont les inversibles et les associés à $\text{[math]}$ . (pas à un inversible quelconque)
Un élément $\text{[math]}$ est dit associé à $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , ou de manière équivalente si $\text{[math]}$ .
(Si $\text{[math]}$ est intègre on a en plus l'équivalence avec l'existence d'un inversible $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ; par ex les associés de $\text{[math]}$ sont les $\text{[math]}$ .)

Avec la deuxième caractérisation et ton traitement du cas où $\text{[math]}$ est inversible, c'est bon.

Anneau principal

Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Re : Anneau principal

Discussions similaires

Tout anneau principal est factoriel

Bezout dans un anneau principal non euclidien

anneau principal

Anneau principal

Anneau Principal mais pas Euclidien