Bonjour à tous,
J'ai lu quelque part qu'il était possible de montrer que dans un anneau principal, tout élément était divisible par un irréductible en utilisant que toute suite d'idéaux est stationnaire.
Mais je ne vois pas comment...
Quelqu'un pourrait-il me donner une indication ?
Merci d'avance,
Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
Parmi les idéaux principaux, comment caractériser les idéaux engendrés par un élément irréductible ?
Indication : tout élément appartiens à un idéal maximal principale.
Une suite d'idéals () propres strictement croissante est stationnaire sur
avec
Envoyé par leon1789
Mais en fait il suffit de dire que l'ensemble des idéaux d'un anneau est un ensemble inductif pour l'inclusion (si on considère une chaîne d'idéaux, alors leur intersion est un idéal qui les majore). Par conséquent, pour tout
On ne se sert alors pas du résultat que j'ai mentionné sur les suites d'idéaux...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Dans le cas d'un anneau notherien, on peut se passer du lemme de zorn pour prouver que tout ideal est contenu dans un ideal maximal en utilisant le fais que toute suite croissante d'idéaux stationne : si un idéal I n'est pas contenu dans un idéal maximal M, alors on peut construire une suite strictement croissante d'idéaux stricte M_i tel que M=M_0 et c'est absurde....
C'est étrange : deux idéaux I et M (maximal) peuvent être donnés sans que I soit inclus dans M, rien d'absurde. Je ne comprends pas.
Cela dit, effectivement, sans Zorn, tout idéal propre d'un anneau noethérien est inclus dans un idéal maximal : il suffit de faire grossir un idéal I et cela finit par s'arrêter après un nombre fini d'étapes.
