Anneau principal

[invite7bde3b10]

Bonsoir,
on me demande de montrer que l'anneau quotient A:= C[X,Y]/(Y-X2) est principal.
A est intègre car C est intègre
Il reste à montrer que tout idéal de A est principal, mais je ne sais pas trop à quoi ressemble un tel idéal.
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[invite57a1e779]

A est intègre car C est intègre.

L'argument me paraît bien faux : le quotient est intègre si, et seulement si, l'idéal est premier, ce qui n'a rien à voir avec l'intégrité de . Par exemple,l'anneau n'est pas intègre.

Ce genre de problème se règle comme suit :
– on construit un morphisme de dans un anneau ;
– on prouve qu'il est surjectif ;
– on prouve que son noyau est l'idéal .

On sait qu'alors est isomorphe à .
Si l'on a pris soin de travailler avec un anneau principal, on a le résultat voulu.
Dans ton cas, l'anneau principal qui me vient à l'esprit est naturellement l'anneau de polynômes .

[invite7bde3b10]

où diable avais je la tête qand j'ai écrit ça!
Je pensais que la propriété:
A noethérien, I idéal de A alors A/I noethérien
marchait aussi pour l'intégrité, mais comme un anneau noethérien n'est pas forcément intègre,il n'y a aucune raison pour que ce soit vrai.
Merci de ne pas me laisser dans l'erreur.
Par contre est ce que ça marche pour les anneaux factoriels?

[invite7bde3b10]

Salut
En exploitant les indications, voici la démo que je soumets à votre critique

A intègre<=> (Y-X²) premier<=> Y-X² irréductible dans C[X,Y] puisque C[X,Y] est factoriel
Raisonnons par l'absurde en supposant que Y-X² ne soit pas irréductible , comme C[X,Y] isomorphe à C[X][Y]donc il existe P,Q dans C[X][Y]tels que
Y-X²=P(Y)Q(Y) et ni P ni Q ne sont inversibles dans (C[X])*=C*
En considérant les degrés par rapport à Y on a:
1=deg(P)+deg(Q)
mais puisque ni P ni Q ne sont constantes,
deg(P)>=1 et deg(Q) >=1
Contradicion donc Y-X² est irréductible

Soit f:C[X][Y]->C[T]
P(X,Y)->P(T,T²)
Je montre que c'est un morphisme d'anneau, ça c'est
Pour la surjectivité c'est acquis par définition de f
Donc Im(f)=C[T]
(Y-X²) est dans Kerf (puisqueT²-T²=0)
donc (Y-X²)est inclus dans Kerf
Soit P dans Kerf,
P(T,T²)=0
En faisant la division euclidienne da P par Y-X², il vient
P=(Y-X²)Q₂+YQ₁+Q₀
où les Q_i sont dans C[X]
f(P)=T²Q₁+Q₀=0
donc par identification
Q₁=0 et Q₀=0
donc P est dans (Y-X²) et Kerf est inclus dans (Y-X²) d'où l'égalité
conclusion A est isomorphe à C[T] qui est principal donc A est principal

[A voir en vidéo sur Futura]