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Anneau principal



  1. #1
    arsene87

    Unhappy Anneau principal


    ------

    Bonsoir,
    on me demande de montrer que l'anneau quotient A:= C[X,Y]/(Y-X2) est principal.
    A est intègre car C est intègre
    Il reste à montrer que tout idéal de A est principal, mais je ne sais pas trop à quoi ressemble un tel idéal.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Anneau principal

    Citation Envoyé par arsene87 Voir le message
    A est intègre car C est intègre.
    L'argument me paraît bien faux : le quotient est intègre si, et seulement si, l'idéal est premier, ce qui n'a rien à voir avec l'intégrité de . Par exemple,l'anneau n'est pas intègre.

    Ce genre de problème se règle comme suit :
    – on construit un morphisme de dans un anneau ;
    – on prouve qu'il est surjectif ;
    – on prouve que son noyau est l'idéal .

    On sait qu'alors est isomorphe à .
    Si l'on a pris soin de travailler avec un anneau principal, on a le résultat voulu.
    Dans ton cas, l'anneau principal qui me vient à l'esprit est naturellement l'anneau de polynômes .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    arsene87

    Re : Anneau principal

    où diable avais je la tête qand j'ai écrit ça!
    Je pensais que la propriété:
    A noethérien, I idéal de A alors A/I noethérien
    marchait aussi pour l'intégrité, mais comme un anneau noethérien n'est pas forcément intègre,il n'y a aucune raison pour que ce soit vrai.
    Merci de ne pas me laisser dans l'erreur.
    Par contre est ce que ça marche pour les anneaux factoriels?

  5. #4
    arsene87

    Re : Anneau principal

    Salut
    En exploitant les indications, voici la démo que je soumets à votre critique

    A intègre<=> (Y-X2) premier<=> Y-X2 irréductible dans C[X,Y] puisque C[X,Y] est factoriel
    Raisonnons par l'absurde en supposant que Y-X2 ne soit pas irréductible , comme C[X,Y] isomorphe à C[X][Y]donc il existe P,Q dans C[X][Y]tels que
    Y-X2=P(Y)Q(Y) et ni P ni Q ne sont inversibles dans (C[X])*=C*
    En considérant les degrés par rapport à Y on a:
    1=deg(P)+deg(Q)
    mais puisque ni P ni Q ne sont constantes,
    deg(P)>=1 et deg(Q) >=1
    Contradicion donc Y-X2 est irréductible

    Soit f:C[X][Y]->C[T]
    P(X,Y)->P(T,T2)
    Je montre que c'est un morphisme d'anneau, ça c'est
    Pour la surjectivité c'est acquis par définition de f
    Donc Im(f)=C[T]
    (Y-X2) est dans Kerf (puisqueT2-T2=0)
    donc (Y-X2)est inclus dans Kerf
    Soit P dans Kerf,
    P(T,T2)=0
    En faisant la division euclidienne da P par Y-X2, il vient
    P=(Y-X2)Q2+YQ1+Q0
    où les Qi sont dans C[X]
    f(P)=T2Q1+Q0=0
    donc par identification
    Q1=0 et Q0=0
    donc P est dans (Y-X2) et Kerf est inclus dans (Y-X2) d'où l'égalité
    conclusion A est isomorphe à C[T] qui est principal donc A est principal

  6. A voir en vidéo sur Futura

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