anneau principal

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

J´ai un problème de définition qui me chiffonne. Il s´agit de la définition d´un anneau principal. En effet, selon les sources je trouve différentes définitions: Dans mon cours, un anneau prinicipal:
- est intègre (ça ça concorde avec toutes les définitions d´autres bouquins)
- n´a que des idéaux principaux (idem)
- n´est pas un corps: ça par contre ça manque dans certaines sources.
De même pour certains, une condition pour qu´un anneau soit principal, c´est qu´il soit commutatif. J´ai même vu en "exemple": tout corps commutatif est principal (ce qui contredit la définition comme quoi un anneau principal n´est pas un corps).


Merci d´avance pour cette précision

Christophe
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[invite769a1844]

Salut,

en général on impose pas à un anneau principal de ne pas être un corps.

Si on ne prend pas en compte cette condition, tous les corps commutatifs sont des anneaux principaux.

Mais ce ne doit pas être les exemples les plus intéressants d'anneaux principaux, vu que dans un corps il n'y a que deux idéaux qui ne sont pas propres.
Donc c'est pas si gênant de les retirer de la catégorie des anneaux principaux.

Après pour les histoires de commutativité, on l'impose si on veut se limiter à une étude des anneaux commutatifs, ce qui est souvent le cas.

[christophe_de_Berlin]

ok, merci pour cette précision