Isomorphisme et dimension d'e.v.

[IanCurtis89]

Bonjour,

J'ai montré qu'une application F qui va de S (S est un s.e.v. de , et c'est l'ensemble des suites de telles que ) dans qui à une suite de S associe le couple de complexes , était un isomorphisme d'espaces vectoriels. Je dois en déduire la dimension de S.
J'aimerai donc savoir si mon raisonnement est correct, même si la question vous semblera sûrement triviale...
Voilà ce que j'ai fait :
Sachant que F est un isomorphisme d’espaces vectoriels, on en déduit que S et sont isomorphes.
Et comme deux espaces vectoriels de dimensions finies sont isomorphes si et seulement si leur dimension sont égales, on en déduit que :

La seule chose qui me dérange en fait c'est que je n'ai pas établi le fait que la dimension de S est finie et je ne sais pas trop comment m'y prendre... ni si c'est réellement nécessaire ?

Merci d'avance de m'éclairer de vos lanternes,

IC
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[invite52487760]

Bonjour :
C'est exactement ça l'idée :
En general si et sont deux espaces vectoriels de dimension finie et est un isomorphisme alors :
Ce n'est pas necessaire de montrer que est de dimesnion finie, puique l'est !

[God's Breath]

Et comme deux espaces vectoriels de dimensions finies sont isomorphes si et seulement si leur dimension sont égales,

Si deux espaces vectoriels sont isomorphes, et si l'un des deux est de diimension finie, alors l'autre aussi, et leurs dimensions sont égales.

En effet un isomorphisme transforme une base en une base.

[IanCurtis89]

Merci pour vos réponses!

[A voir en vidéo sur Futura]