Preuve existence d'une matrice

[invitecc2e5eff]

Bonjour,


Soit S=matrice1.gif

je dois prouver qu'il existe une matrice P inversible tq , pour tout entier non nul n :
matrice2.gif


Sa me fais penser aux matrice de passages , mais je vois pas comment faire. Et résoudre le système me parait un petit peu lourd ^^

Si je peux avoir une indication

merci beaucoup
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[invite9dc7b526]

Ca ne me semble pas possible, parce que si j'appelle An la matrice qui est au milieu du produit sur ta deuxième image. Alors on doit avoir que la trace de S est égale à la trace de An. Ca c'est vrai du fait de la relation Tr(AB)=Tr(BA) et donc Tr (P^{-1}AP) = Tr(PP^{-1}A)=Tr(1A)=Tr(A).

Or les matrices An ont des traces différentes.

[invite6919e4bc]

Erreur dans ton énoncé, il faut que ta matrice diagonalisée conserve la même trace (comme dit dans le message précédent) et le même déterminant.

[invite9dc7b526]

Je ne serais pas surpris si la chose à démontrer concernait la n-ième puissance de S. Il suffit de le montrer pour n=1, le cas général en découle trivialement. D'ailleurs le calcul des puissances des matrices est le principal intérêt de la diagonalisation.

[A voir en vidéo sur Futura]