Unicité du chemin minimisant un "potentiel"

[Turgon]

Bonjour à tous.

Je cherche à savoir si oui ou non deux points d'un espace vectoriel normé (euclidien si il le faut) sont reliés par un unique arc minimisant: .où N(x) est la norme de x.

Cette propriété est-elle vraie au moins au voisinage de tout point? (c'est-à-dire que deux points suffisament proches d'un point donné sont reliés par un unique arc minimisant cette intégrale) Où est-elle complètement fausse? J'avais commencé à lire des pdf de théorie du transport optimal qui semblaient traiter de ce genre de problème, mais j'avoue que je rame bien .
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[Seirios]

Bonjour,

Ce serait curieux : pour la norme sur , si l'on se donne un chemin reliant deux points, il semble qu'il soit toujours possible de trouver un second chemin différent du précédent mais reliant les mêmes points, et tel que pour tout .