Déterminant matrice ayant propriétés spéciales

[coussin]

Salut à tous

Soit une matrice carrée à éléments en général complexes. Les dimensions de cette matrice sont impaires, elle est donc de dimension (d'où l'indice , entier naturel, caractérisant ces matrices).

Puisque ses dimensions sont impaires, on peut définir un "élément central" pour cette matrice qui est l'élément . Cet élément central est réel.

Tous les éléments de cette matrice ne sont pas indépendants. Les éléments de matrice qui sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'élément central sont conjugués l'un de l'autre : pour un élément , son symétrique par rapport à l'élément central est (sauf erreur de ma part…) . Ces deux éléments sont conjugués l'un de l'autre i.e. .

Je voudrais démontrer que le déterminant de cette matrice est réel pour tout .

Je l'ai constaté avec Mathematica pour les premières matrices et mais je ne sais pas comment généraliser pour tout …

Merci d'avance pour toutes pistes
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[coussin]

Est-ce correct : je réécris ma matrice en terme de
(i) la ligne et colonne passant par l'élément central
(ii) 4 blocs de dimension
i.e.


Je développe mon déterminant comme

Vue les propriétés de mon premier message, et et donc c'est réel…

Mon doute est la généralisation à des blocs bien sûr… Qu'en pensez-vous ?

[Seirios]

Bonsoir,

La relation par blocs ne me semble pas correct. Par contre, si tu développes par rapport à la n-ème ligne, le déterminant va s'écrire sous la forme , où les cofacteurs sont numérotés dans l'ordre rencontré ("de gauche à droite"). Après quelques permutations de lignes et de colonnes, j'ai bien l'impression que l'on a la relation ; cela dit, je n'ai pas vérifié tous les détails, mais cela permet de conclure (en tout, cela fonctionne très bien sur des exemples).

[coussin]

En effet, en terme de blocs on a pas par exemple…

Je vais réfléchir à votre piste, qui me semble correcte à vue de nez

Merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Bonsoir,

La relation par blocs ne me semble pas correct. Par contre, si tu développes par rapport à la n-ème ligne, le déterminant va s'écrire sous la forme , où les cofacteurs sont numérotés dans l'ordre rencontré ("de gauche à droite"). Après quelques permutations de lignes et de colonnes, j'ai bien l'impression que l'on a la relation ; cela dit, je n'ai pas vérifié tous les détails, mais cela permet de conclure (en tout, cela fonctionne très bien sur des exemples).

Alors effectivement, il me semble bien que les cofacteurs "de gauche" se compensent avec ceux "de droite" pour donner une quantité réel. Mais quid de celui "du milieu" i.e. le cofacteur ? Est-ce évident que ce terme est réel ? On retrouve un peu mon message précédent pour l'évaluation de ce cofacteur…

Merci d'avance

[Seirios]

La relation reste vraie pour , la même permutation des colonnes et des lignes devrait donner , c'est-à-dire que est réel.

[coussin]

Ah bah oui c'est vrai: aucune raison pour que ce ne soit pas vrai pour j=n+1 Merci.