Propriétés spéciales de Pi

inviteda3529a9 · 11/05/2012, 21h03

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide
Soit a et b deux entiers strictement positifs tels que a/b=Pi (raisonnement par l'absurde pour montrer que Pi est irrationnel).
Pn(x)=(x^n.(a-b.x)^n)/n!
In=Int((x^n.(a-b.x)^n)/n!.sin(x), x = 0 .. Pi)

Comment déterminer la limite de In quand n tend vers +infinity ???

Comment calculer Pn(k)(0) (dérivée k-ième de Pn en 0) et Pn(k)(a/b) avec la formule de Taylor ? Laquelle choisir ???

Comment montrer que Pn(k)(0) et Pn(k)(a/b) sont des entiers relatifs à l'aide d'intégration par parties ?

Enfin, comment conclure concernant le fait que Pi soit irrationnel puisque le but de cet exercice est de montrer que Pi est irrationnel

Merci beaucoup de votre aide.

A tout de suite.

Formule 1

**gg0** · 11/05/2012, 21h30

Bonjour.

Pour I_n on peut majorer la fonction |P_n(x) sin(x)| par son maximum. En étudiant les variations de x(a-bx) on trouve un maximum pour a/2b=Pi/2 qui est justement le maximum de sin(x). Je te laisse compléter.

Pour la suite, le développement de Mac-Laurin d'un polynôme est son écriture développée réduite ordonnée.

Bonne réflexion.

inviteda3529a9 · 11/05/2012, 22h03

Pourriez vous détailler svp.
Merci beaucoup d'avance.

**gg0** · 11/05/2012, 22h19

Non,

c'est ton exercice, c'est à toi de la faire. Moi je ne le connaissais pas et j'ai pris la peine d'y réfléchir, toi tu peux réfléchir vraiment, avec les pistes que je t'ai données.

Bon travail !

Juste une idée : J'ai eu l'intuition que la limite serait nulle. Pas toi ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteda3529a9 · 11/05/2012, 23h37

ainsi, la borne supérieure de Pn est (Pi/2)(1/n!) ???

Comment majorer abs(Pn(x) sin(x)) ??? avec quelle fonction.
Comment celà, majorer ? Il e faut pas plutôt encadrer et utiliser ensuite le théorème des gendarmes ?

Merci d'avance

**gg0** · 12/05/2012, 11h01

Pour la borne supérieure de P_n je ne vois pas ça. Fais vraiment le calcul, sérieusement, en vérifiant qu'à chaque étape tu utilises une propriété mathématique. Par exemple en utilisant :
$\text{[math]}$

pour la majoration, le plus simple est de majorer la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de la valeur absolue, technique très classique à ton niveau, non?

Quoique ? je me demande finalement quel est ton niveau ? Es-tu en bac +2 ou en bac-2 ?

Cordialement.

inviteda3529a9 · 12/05/2012, 22h26

Bonsoir.
Vous dites, dans un message ci dessus, que la borne supérieure de x(a-bx) est atteinte pour x=(a/(2b)) Donc celle de l'integrale est a/(2bn!). Ou est le problème ? Qu'est ce que vous ne voyez pas ?

inviteda3529a9 · 13/05/2012, 11h14

Bonjour à tous! j'ai une question concernant la formule de Taylor . Soit la formule suivante:
Pn(x)=sum(x^k.Pn(k)(0)/k!,k,0,n).
Comment obtenir la dérivée n ieme de Pn(0):Pn(n)(0) ?
Comment obtenir la dérivée k ieme de Pn(0):Pn(k)(0) ?

Merci d'avance à tous

À tout de suite

**gg0** · 13/05/2012, 11h39

Bonjour.

A strictement lire ton message, il y a un problème de notation :
"Comment obtenir la dérivée n ieme de Pn(0):Pn(n)(0) ?"
en effet " la dérivée n ieme de Pn(0)" est la dérivée n-ième d'une constante, donc est nulle si n>0. Et "Pn⁽ⁿ⁾(0) " est la valeur en 0 de la dérivée n-ième de P_n.

Au fait, c'est quoi P_n ? Ne serait-ce pas un polynôme de degré n ? Donc tu parles de la formule de Taylor pour les polynômes, ce que tu n'as pas dit !

Bon, maintenant, quel est ton problème ? Calculer la valeur d'une dérivée ? On détermine la dérivée, puis on cherche sa valeur. Trouver P_n^(k)(0) en utilisant cette formule ? Par identification sur le terme de degré n-k. Depuis le temps que tu connais cette méthode !!!

Cordialement.

NB : Si tu ne comprends pas ma réponse, fais un essai avec un polynôme très simple, de degré 2 ou 3 et dont tu connais les coefficients, par exemple 3x²-5x+7.

inviteda3529a9 · 13/05/2012, 11h56

Merci!
Encore une question, si on a
Sum(x,k,0,n)=sum(y,k,n,2n) , à t-on x=y ?

inviteda3529a9 · 13/05/2012, 17h05

Aidez moi s'il vous plaît. Je ne vois pas comment répondre à ces trois questions.
Merci d'avance

inviteda3529a9 · 13/05/2012, 18h58

Bonjour à tous.
Je suis en train de tenter de démontrer que Pi est irrationnels.
Je raisonne par l'absurde en posant à et b deux entiers strictement positifs tels que Pi=a/b (n un entier naturel)
Je pose Pn(x)=(1/n!).x^n.(a-bx)^n

Je veux calculer la derivee k ieme de Pn(0) et Pn(a/b).
Pour cela (cas de 0) j'utilise la formule de Taylor mais j'ai un problème d'indice, une somme décrit k de 0 à n et l'autre de n à 2n. Cependant,dans les deux sommes, j'ai bien le terme suivant: x^k qui pourra nous permettre de simplifier si l'on règle ce problème d'indice.

Merci d'avance de votre aide.

À tout de suite

Formule1

**gg0** · 13/05/2012, 20h51

Désolé,

mais je ne comprends pas bien ton problème :
Sum(x,k,0,n)=sum(y,k,n,2n)
Que vaut Sum(x,k,0,n)? et sum(y,k,n,2n) ?
Soit c'est exactement ce que tu as écrit et la réponse est évidente, soit ta notation n'a pas de sens. Donc précises ce dont tu parles si chaque somme n'est pas une somme de termes tous identiques.

Pourquoi demandes-tu encore de l'aide pour les deux premières questions ? Tu n'as pas lu ma réponse ? Tu ne l'as pas comprise ? Dans le deuxième cas, tu devrais le dire !

Cordialement.

**gg0** · 13/05/2012, 21h26

Formule1,

pourquoi reposer pour la troisième fois la même question et toujours aussi bêtement ("la derivee k ieme de Pn(0) et Pn(a/b)")?

Référence : http://forums.futura-sciences.com/ma...57-taylor.html

**gg0** · 13/05/2012, 21h32

Autre référence:http://forums.futura-sciences.com/ma...integrale.html

**Médiat** · 13/05/2012, 21h40

Bonsoir,

Les trois discussions ont été fusionnées, meci de ne pas en créer de nouvelles !

Pour la modération

Propriétés spéciales de Pi