Variété localement à norme strictement convexe.

[invite97d79020]

Bonjour.

Si je ne me suis pas gouré dans mon cour de géométrie, au voisinage d'un point d'une variété riemmanienne, la distance à ce même point induit une norme sur l'espace tangent, qui est un espace de dimension finie.
Or dans un espace (vectoriel réel) de dimension finie, toute norme est équivalente à une norme strictement convexe.

Je me demandais si partant de ces remarques, on pouvait déduire que toute variété de Riemman est homéomorphe à une variété de Riemman telle qu'au voisinage de chaque point, la distance à ce point induit une norme strictement convexe sur l'espace tangent à ce point?

Merci d'avance.
-----

[0577]

Bonjour,

dans la définition "standard" d'une variété riemannienne, on a un produit scalaire sur chaque espace tangent (variant différentiablement avec le point considéré).
En particulier, la norme sur chaque espace tangent, qui induit une distance sur la variété par intégration le long de courbes, est euclidienne et donc strictement convexe.

Si vous utilisez une définition différente, il faudrait la donner.

[invite93e0873f]

En effet, par définition d'une variété riemannienne, la métrique (riemannienne) induit automatiquement une norme strictement convexe sur chaque espace tangent.

Le cadre approprié pour poser cette question est celui des variétés de Finsler. C'est une notion plus générale même que celle recherchée, mais employons ici le terme 'Finsler' pour une variété munie en tout point d'une norme.

L'adaptation immédiate de la question est alors : toute variété de Finsler est-elle homéomorphe à une variété riemannienne ? Telle que posée actuellement en terme d'homéomorphisme (ou même de difféomorphisme), c'est « trivialement » vrai : une variété de Finsler M étant une variété lisse munie d'une structure additionnelle et sachant que tout fibré tangent admet une métrique riemannienne, la réponse s'en déduit aisément en oubliant simplement la structure de Finsler et en la remplaçant par une métrique quelconque.

La « vraie » question est : étant donné une variété de Finsler (M, F), ce qui donne lieu à un espace métrique , existe-t-il une métrique riemannienne g sur M telle que soit « équivalent » à ? En d'autres termes, en supposant M compacte, existe-t-il des constantes C, D > 0 telles que pour toute paire de points x,y de M, nous ayons ? Une question plus exigeante est de se demander si pour tout point m de M et tout vecteur , nous pouvons trouver des constantes C,D > 0 telles que ; si oui, ça impliquerait la véracité de la question précédente.

La réponse me semble vraie aussi : sur chaque , on peut trouver des constantes et une métrique telles que pour tout , . Avec un peu plus de réflexion, on peut probablement obtenir une procédure continue associant , voire lisse. Ainsi, on obtient sur tout M une métrique riemannienne g (continue, voire lisse ; si on n'a pas cherché à l'avoir lisse, il est toujours possible de la perturber aussi légèrement que souhaitée vers quelque chose de lisse). Par compacité de M, il suffit de prendre et .

Une question plus difficile est : étant donné une variété de Finsler (M,F) compacte et une constante , existe-t-il une métrique riemannienne g telle que pour tout et tout , . C'est un peu subtil, car sur un espace vectoriel muni de la norme , on ne peut pas que très légèrement la perturber et espérer obtenir une norme issue d'un produit scalaire (l'ensemble des vecteurs de norme 1 pour un produit scalaire donnant lieu à une ellipsoïde et une ellipsoïde n'étant pas arbitrairement près d'un (hyper)cube ... ), mais encore faut-il savoir s'il est possible d'associer une telle norme de façon lisse en tout point d'une variété compacte.

[invite97d79020]

Merci à tous pour vos réponses, et pardon pour l'erreur, je ne savais pas qu'une norme issue d'un produit scalaire était strictement convexe.

Par contre, c'est bien le seul cas de l'homéomorphisme qui m'interesse. Je m'interesse à des résultats topologiques sur des espaces ayant la propriété suivante:

Pour tout pont x et tout point y,z suffisament proches de x, y et z sont reliés par une unique géodésique.

Je cherchais donc à voir, en néophyte complet de la géométrie différentielle, si une catégorie de variété pas trop restreinte, par exemple les variétés riemmaniennes, pouvaient être homéomorphes à de tels espaces. Et comme dans un espace normé, la stricte convexité de la norme implique l'unicité des géodésiques au voisinage d'un point, je me disait que montrer que ces variétés sont homéomorphes à des variétés induisant des normes strictement convexe serait un premier pas (non définitif) pour montrer qu'elles sont homéomorphes à des espaces ayant la propriétés donnée plus haut.

Après il faut voir ce que la stricte convexité de la norme nous dit sur l'ensemble des géodésiques au voisinage du point, mais c'et déjà bien d'avoir la stricte convexité.

[A voir en vidéo sur Futura]