Espace localement convexe

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Voila je me tourne vers vous car je bloque sur un exercice:

On considère X un espace localement convexe réel et f :X->R une forme linéaire non nulle. Montrer ceci:

<=> 1) f est continue
<=> 2) Ker(f) est fermé
<=> 3) Ker(f) n'est pas dense dans X
<=> 4) Il existe un voisinage de 0 appartenant à X sur lequel f est bornée.

Bon alors j'ai fait sans problèmes 1=>2 et 2=>3

Par contre pour 3=>4 je ne vois pas par où commencer et comment utiliser le fait que Ker(f) ne soit pas dense dans X à part avoir écrit que l'adhérence de Ker(f) est inclus non égal à X. Mais que faire de ça ?

Merci de vos conseils.

Jules345
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[invite179e6258]

si ker(f) n'est pas dense dans X il existe un x de X et un voisinage O de x qui ne contient aucun point de Ker(f) (f ne s'annule pas sur O)

[inviteec33ac08]

Certes, mais cela ne montre pas que sur ce voisinage f est bornée ?!

[invite4bf147f6]

Bonjour,
cherche si il existe un voisinage B de x borné. f(B) partie de R non vide, 0 n'appartient pas à f(B) et f(B) connexe .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Je ne comprends pas trop ton raisonnement, ou veut-tu en venir ?

Sachant que je ne peux pas utiliser la continuité de f mais seulement le fait que Ker(f) n'est pas dense dans X (autrement dit je comptais dire que vu que Ker(f) n'est pas dense dans X je peux trouver des éléments qui sont dans X et qui n'appartiennent pas à l'adhérence de X mais ce n'est qu'une piste après comment aboutir ? ) Autant je trouvais les premières implications simple autant là je sèche

[invite4bf147f6]

si x n’appartient pas a l'adhérence de ker(f) alors il existe un voisinage de x inclu dans X et convexe dont l'intersection avec ker(f) est nulle. Nommons B n tel ouvert.
f(B) partie de R non vide convexe: a,b de f(B) , f(xa)=a et f(xb)=b alors (1-t)*xa+t*xb dans B (convexe) d'ou f((1-t)*xa+t*xb)=(1-t)*a+t*b.
De plus 0 n'est pas un élément de f(B). Par exemple f(B) a valeur strictement positif. f(B) est minoré. Il reste a montrer que f(B) majoré pour cela on observera que f(B) est symétrique autour de f(x): si x+y est dans B, x-y aussi et f(x+y)=f(x)+f(y) tandis que f(x-y)=f(x)-f(y). Donc f borné au voisinage de x, il reste a revenir en 0.

[inviteec33ac08]

Merci de votre réponse,

par contre je ne vois pas pourquoi f(B) serait convexe car on n'as pas supposé que f est continue non ?

[invite4bf147f6]

justement, soit a,b de f(B) ,
il exite xa de B : f(xa)=a et
xb de B : f(xb)=b
alors
t entre 0 et 1,
(1-t)*xa+t*xb dans B (convexe)
donc f((1-t)*xa+t*xb)=(1-t)*a+t*b par linéarité.
C'est à dire que (1-t)*a+t*b appartient à f(B) donc f(B) convexe.

[inviteec33ac08]

Je ne comprends pas pourquoi quand on prend un élément a de f(B) il existe forcément un ax dans B tel que f(xa)=a où x appartient à X\ adhérence de Ker(f) ?

[gg0]

Bonsoir.

Par définition de f(B), si a est dans f(B), il est l'image d'un élément de B, que Mickan a nommé x_a. et comme B est contenu dans X\ adhérence de Ker(f), x_a aussi.

Cordialement.

[inviteec33ac08]

Merci , en fait j'ignorais le fait qu'une forme linéaire non nulle est surjective ^^ Après je vois pourquoi f(B) ne contient pas 0 mais pourquoi f(B) prendrait des valeurs positives (ou négatives) et pas les deux ? Je ne comprends pas très bien cette idée de symétrie autour de f(x) ?

[gg0]

Pourquoi parler de surjectivité alors que ce n'est que la signification de f(B) qui est utilisée ?

"pourquoi f(B) prendrait des valeurs positives (ou négatives) et pas les deux ?" à cause de la preuve ! s'il y a des valeurs et positives et négatives, par convexité il y aura 0.

On dirait que tu ne critiques pas la preuve (faute de la considérer), mais que tu parles à côté.

Cordialement.

NB : je laisse Mickan défendre sa preuve.

[inviteec33ac08]

Merci en effet tu as raison gg0 la fatigue sans doute ^^, j'aurai deux questions pour finir:
lorsque l'on a cela:
f(x+y)=f(x)+f(y) et f(x-y)=f(x)-f(y) on peut en conclure que f(x+y)>f(x)>f(x-y) cela suffit il à montrer que f est bornée au voisinage de x ?
Et ma dernière pour revenir au voisinage de 0 il s'agit d'effectuer une translation pour se rapporter au voisinage de 0 non ?

[invite4bf147f6]

f(x+y)=f(x)+f(y) et f(x-y)=f(x)-f(y) on peut en conclure que f(x+y)>f(x)>f(x-y) cela suffit il à montrer que f est bornée au voisinage de x ?

non, x+y est un élément de B donc y n'a aucune raison d'appartenir à B
et donc f(y) n'a aucune raison d'être positif.

Pour reprendre la démo tel que je l'avais laissée, si f(B) n'est pas majoré alors il existe z dans B tel que f(z)>2f(x) on écrit z=x+y alors z'=x-y est aussi élément de B (||z-x||=||z'-x||)
f(z)=f(x)+f(y) donc f(y)>f(x) et f(z')=f(x)-f(y)<0 absurde. Nécessairement f(B) majoré donc f(B) est bornée.

Et ma dernière pour revenir au voisinage de 0 il s'agit d'effectuer une translation pour se rapporter au voisinage de 0 non ?

Les propriétés sont locale.
f bornée sur un voisinage de x, on prendra un voisinage sous forme de boule de rayon r (inclut dans B). Sur B'=B(0,r') ( r'<r pour assurer d'être dans X), si f(B') non bornée, on a une suite x_n dans B' tel que f(x_n) tend vers l'infini donc la suite y_n=x_n+x est dans B mais f(y_n)= f(x_n)+f(x) est bornée, absurde.

[invite179e6258]

Merci , en fait j'ignorais le fait qu'une forme linéaire non nulle est surjective

et oui, on a beau être en dimension infinie, certaines propriétés élémentaires des formes linéaires valables en dimension finie restent vraies. Par exemple le fait que Ker(f) est un hyperplan.

[invite14e03d2a]

Bonjour,

par amour pour la topologie, j'aimerais m'interesser a la question mais celle-ci me rend perplexe: qu'est-ce qu'une forme lineaire? Je sais ce que c'est pour les espaces vectoriels, mais dans ce cas, un espace vectoriel est convexe et donc localement convexe, non?

Merci d'avance

[invite179e6258]

dans le cours de topologie de Schwartz il y a un exemple d'espace vectoriel topologique non localement convexe. Un evn est forcément localement convexe par contre.

[invite14e03d2a]

OK merci. J'avais betement suppose qu'un espace convexe etait localement convexe.