Exemple d'espace semi-localement simplement connexe non localement simplement connexe

[taladris]

Bonjour,

relisant une nouvelle fois un cours sur les revetements, je tombe sur la définition d'espace localement simplement connexe et d'espace semi-localement simplement connexe. Localement s.c. implique semi-localement s.c. Pourriez-vous me donner un exemple d'espace semi-localement s.c. qui n'est paslocalement s.c.

Pour info, un espace X est simplement connexe s'il est connexe par arcs(*) et si son groupe fondamental est trivial. Autrement dit, tout lacet peut être continument déformé en un point.

Un espace est localement s.c. si tout point admet un voisinage ouvert simplement connexe. Par exemple, un plan privé d'un point est localement s.c. mais pas s.c.

Un espace est semi-localement s.c. si pour tout point x, il existe un voisinage ouvert U de sorte que l'application , induite par l'inclusion de U dans X, est triviale.

Merci d'avance.

(*) pas sûr que la connexité par arcs soit requise dans tous les bouquins. Vous pouvez la supprimer si besoin (pour décrire l'exemple que je cherche).
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[invite76543456789]

Salut!
L'exemple classique est le cone sur la boucle d'oreille hawaienne!
La boucle d'oreille c'est l'union de cercles tangents de rayon 1/n de centres alignes.
Tu prend le cone sur ca et c'est clairement s.l simplement connexe (un cone est contractile). Mais pas localement s.c.

[invite06b993d0]

pourquoi pas localement simplement connexe? la définition dit que chaque point à un voisinage simplement connexe, or le cône entier est un voisinage de chacun de ses points.

[invite76543456789]

la définition dit que chaque point à un voisinage simplement connexe, or le cône entier est un voisinage de chacun de ses points.

C'est pas la definition de localement simplement connexe non, tout point doit avoir un systeme fondamental de voisinage simplement connexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06b993d0]

ah ok. c'est vrai que la notion n'aurait pas le même intérêt. Comme espace où aucun point n'a aucun voisinage simplement connexe, on doit pouvoir considérer R^2 privé de Q^2, muni de la distance usuelle.

[taladris]

OK, merci pour l'exemple. Cet exemple est simplement connexe puisque contractile. Mais j'arrive toujours pas à comprendre la notion de semi-localement s.c. La définition dit que localement, il existe un ouvert tel que toute boucle de cet ouvert (a priori non triviale) devient trivial si on la considère comme une boucle de X tout entier.

Cela ressemble beaucoup à simplement connexe. Connaissez-vous un exemple d'espace qui soit semi-localement simplement connexe mais non simplement connexe?

Merci

[invite76543456789]

Salut!
Je vais tenter de t'expliquer "avec les mains".

Semi localement simplement connexe, ca veut dire que si tu prend un point, x, et un voisnage de ce point, disons U, et un lacet en ce point contenu dans U, tu peux le contracter sur x, et tu as le droit de sortir de U pour le faire.

Dans le cone sur l'anneau hawaiien, pour pouvoir derformer un lacet tu dois le faire passer par la pointe du cone. Ca n'est pas possible en restant pres du point ou les anneaux se joignent.

Autrement dit le fait de voir U dans X permet de "liberer de l'espace" pour deformer ton lacet. Un moyen simple de piger c'est de réaliser que dans un espace simplement connexe, y a des sous trucs non simplement connexe. Prend une couronne dans le plan, si tu prends un lacet dans la couronne, tu pourras le contracter en un point, mais en sortant de la couronne.

Si tu veux prend le cone sur l'anneau hawaiien, et attache un cercle sur la point du cone.

Alors tu as un espace, localement connexe (par arcs), semi-localement simplement connexe, non simplement connexe, non localement simplement connexe (ouf).

[taladris]

Merci!

C'est exactement l'explication dont j'avais besoin pour comprendre