Connexe,compact, simplement connexe, orientable, ahhhhhhhhh au secour !

[invite84eba484]

Bonjour, voila j'ai vraiment du mal (je dirai méme plus, je n'arrive pas à ) montrer qu'un groupe de lie est connexe, simplement connexe, compact etc...

Bon aprés des recherches fructueuses il ne me reste plus que quelques groupe ou j'hésite:

Le groupe de poincaré ? connexe? simplement connexe ? compact ? je crois qu'il posséde plusieur composante connexe donc je dirais qu'il n'est pas connexe !

Le groupe euclidien E3 ? connexe ? compact ? etc... par intuition je dirai connexe , simplement connexe et non compact ! j'ai juste ?

le groupe o(r,s) ? je dirai non connexe (car il est constitué de plusieurs composante connexe ) et pour compact ??!!

de meme pour so(r,s) ?

Et enfin me reste les groupe simpléctique , Sp(n,R ou C) USp(n) ? la pas trop d'idée je dirai non connexe car plusieur composantes connexe mais bon je suis sur de rien...

Alors un peu d'aide serais gentil et merci d'avance bien sur
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[invite84eba484]

Une autre question dont je voudrais vérifié ma réponse ,

Si un groupe est connnexe alors sa composante connexe de l'identité est égale au groupe je pense ça me parais logique sinon j'ai vraiment rien compris...

[Amanuensis]

Le groupe de poincaré ? connexe? simplement connexe ? compact ? je crois qu'il posséde plusieur composante connexe donc je dirais qu'il n'est pas connexe !

On peut trouver des cas où l'expression "groupe de Poincaré" se limite à une partie connexe. En toute généralité, le groupe a quatre composantes connexes, et n'est donc pas connexe (comme O(1,3) dont il dérive).

Il n'est pas compact (il contient comme sous-groupe les translations de R4)

Le groupe euclidien E3 ? connexe ? compact ? etc... par intuition je dirai connexe , simplement connexe et non compact ! j'ai juste ?

Comme le groupe de Poincaré, c'est affaire de convention. En toute généralité, il a deux composantes connexes (l'inversion n'est pas dans la partie connexe de l'identité). Il n'est pas compact.

le groupe o(r,s) ? je dirai non connexe (car il est constitué de plusieurs composante connexe ) et pour compact ??!!

O(1,3) a quatre composantes connexes, et n'est pas compact (le sous-groupe engendré par un boost est homéomorphe à (R,+)).

de meme pour so(r,s) ?

SO(1,3) a deux composantes connexes, sauf si l'auteur veut dire par là SO⁺(1,3) (ce dernier étant la composante connexe de l'identité de O(1,3)).

Si un groupe est connexe alors sa composante connexe de l'identité est égale au groupe je pense

Oui

[invite84eba484]

salut,

Merci pour tes réponses, juste une question, pourquoi le fait que le groupe posséde un sous groupe permet d'affirmer qu'il n'est pas compact ? ou peut etre que c'est du fait que le sous groupe soit non compacte qui permet d'affirmer cela ?

merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Merci pour tes réponses, juste une question, pourquoi le fait que le groupe posséde un sous groupe permet d'affirmer qu'il n'est pas compact ? ou peut etre que c'est du fait que le sous groupe soit non compact qui permet d'affirmer cela ?

Oui, c'est ça. Comme ce sont des espaces métrisables, suffit d'exhiber une suite sans sous-suite convergente pour infirmer la compacité, et un sous-groupe non compact permet de le faire. Dès qu'on a un sous-groupe homéomorphe à (R, +), c'est non compact, suffit de la suite 1, 2, 3, ...