Espace localement compact !

[invitecbade190]

Bonjour :
ça fait longtemps que j'ai pas fait de topologie, et j'aimerai que quelqu'un me dit porquoi un espace topologique séparé dans lequel tout point admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de est localement compact.
J'ai un autre truc à vous demander : Est ce que quelqu'un pet m'écrire ici la démonstration du théorème d'invariance du domaine de Brouwer ? Ce sera gentil de sa part, j'ai perdu mon ancien cours qu'on a fait à la fac l'année passé !
Merci d'avance de votre aide !
-----

[invite769a1844]

Salut Chentouf,

Pour fixé dans ton espace, tu considères un voisinage ouvert de homéomorphe à , donc localement compact.
Par conséquent tu peux trouver un voisinage compact dans de .
reste ouvert dans ton espace topo, et comme ton espace est séparé, il reste aussi compact.

le théorème de Brower je ne connais pas.

[invite2b18e883]

Salut à toi.

Voila l'idée :
On se fixe y dans f(U) et x un antécédent de x par f. On se fixe un voisinage E de x homéomorphe à la sphère. On montre que est un ouvert ce qui permettra de conclure.

Pour montrer que est ouvert, si mes souvenirs sont bons, on montre que c'est une composante connexe de la sphère privée de et par connexité par arc locale on en déduit le caractère ouvert. Bref, beaucoup de blabla, ça doit se mettre au propre assez aisément.