Bonjour à tous !
Je n'arrive pas à résoudre un problème de compacité car je ne vois pas bien comment partir. J'ai donc diviser mon intervalle en deux et jeme retrouve à devoir montrer :
E = ensemble des suites réelles x=(xn)n dans N bornées,
muni de la distance d(x,y)=Somme[n dans N] 2-n|xn-yn|
Soit A={x dans E | Quel que soit n dans N, xn=1 si n>5}
A est-il compact ?
Merci d'avance !
Salut!
Si tu veux montrer que A est compact, puisque tu es dans un espace métrique, il semble raisonnable d'utiliser un critère séquentiel.
Au contraire, si tu veux montrer que A n'est pas compact, tu peux montrer au choix que A n'est pas borné ou que A n'est pas fermé.
Le plus compliqué en fait c'est de choisir laquelle de ces trois options est la plus plausible (A a-t-il l'air fermé? borné? compact?)
Cordialement
Ben, l'a l'air plutôt fermé je pense.
Mais est-ce que le fait que A soit inclut dans dans E (qui est l'ensemble des suites réelles bornées) impliquera que A est borné ?
Attention! Les suites de E sont bornées (pour la topologie de R). Cela ne veut pas dire que E est borné (pour la distance d donnée dans l'énoncé).
Je pense aussi (sans l'avoir vérifié formellement) que A est fermé.
Ah ?
Et pour montrer que A est borné, je dois prendre une suite de A et vérifier que cette suite admet un Sup ?
Une suite de E est bornée (au sens de "suite bornée") par définition de E. Par contre, E lui-même n'est pas borné en temps qu'espace métrique pour la distance d.
En effet, les suites constantes sont dans E. Mais siest la suite constante égale à
En adaptant ce que je viens d'écrire, tu dois pouvoir montrer facilement que A n'est pas borné non plus.
D'accord merci !
Mais est-ce qu'en montrant que A est non fermé-borné dans E, on montre que A n'est pas compact ?
En gros, dans E, est-ce que compact équivaut à fermé-borné ?
Dans un espace métrique, on a toujours A compact => A fermé et borné. Donc il suffit de montrer que A n'est pas borné ou n'est pas fermé pour avoir que A n'est pas compact.
La réciproque est en général fausse.
Un cas intéressant où on a l'équivalence A compact <=> A fermé borné, c'est le cas des espaces vectoriels normés de dimension finie.
Edit: je ne suis plus si sûr que A soit fermé. Faudrait que je regarde en détail. Par contre, c'est clair que A n'est pas borné.
Ah oui pas bête ! J'y pensais pas !
Je te remercie !
Pour A fermé, je ne pense pas qu'il y ai besoin de le vérifier (sinon peut être montrer que A s'écrit comme f-1de quelque chose ...):
comme on a compact -> fermé borné on a compact -> borné donc non borné -> non compact .
nan ?
Oui, de toute façon, montrer que A n'est pas borné est plus facile.Envoyé par Rantanplan13
C'est çacomme on a compact -> fermé borné on a compact -> borné donc non borné -> non compact .
nan ?
Merci beaucoup pour ton aide !
Euh ... une autre petite question que je me pose ... (plus pour la même chose)
Si A=B inter C avec B non compacte et C quelconque,
alors C non compact ?
La question doit être:
En général, c'est faux. Par exemple, si C est un compact inclus dans B, alors
ah oui, j'avais pas pensé à ça ...
Euh ... l'espace B={x dans E | Quel que soit n dans N, 1 <ou = |xn|<ou = 2} est plutôt compact lui ?
Il me suffit de prendre 2 suites quelconques x et y et de montrer que d(x,y) est finie ...
puis je montre que B est fermé.
Nan ?
PS : <ou = est inférieur ou égale
Oula! que mon message précédent est mal écris.
Je voulais dire: "si C est inclus dans B".
On n'a pas en général que B borné et fermé => B compact. (E n'est pas un espace vectoriel de dimension finie).
Dans les espaces de dimension infinie, cela dépend de l'espace et de la distance qu'on met dessus.(Exemple: théorème de Montel pour les fonctions holomorphes)
Dans le cas qui t'intéresse, je ne crois pas que B fermé borné suffise à montrer que B est compact.
erf oui c'est vrai ... ça m'étais déjà sortit de la tête.
Peut-être que B n'est pas compact, mais on ne dirait pas.
Pet être en prenant une suite de B et en montrant qu'elle n'a pas de sous-suite convergente ... mais donc une suite de B serait une suite de suite ...
