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Espace non compact



  1. #1
    Eunomia

    Espace non compact


    ------

    Bonjour,
    J'ai un espace E=R[X]. Pour tout P € E, on pose ||P|| = sup |P(x)|, x € [0,1].

    La distance d de E est définie comme ceci : pour tout P, Q € E, d(P,Q)=||P-Q||

    On a dit que cet espace n'était pas un espace compact, seulement je ne vois pas pourquoi...
    Je pense qu'il faut trouver une suite de Cauchy de E qui n'a aucune valeur d'adhérence, mais je n'arrive pas à en trouver une.

    Pourriez-vous m'aider svp ?

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    thepasboss

    Re : Espace non compact

    bonjour,

    Euh comme ça au hasard je dirais de prendre la suite , mais par contre je n'ai pas réfléchit à une démonstration.

    En fait je pense que l'idée c'est de prendre une suite de polynôme que l'on sait "convergent" (je met des guillemets car une telle suite ne serait pas convergente dans ton espace justement) vers une fonction qui n'est pas un polynôme.

  4. #3
    g_h

    Re : Espace non compact

    Hello,

    Encore plus simple : considère la suite des Xn
    C'est une suite bornée (chaque terme est de norme 1), qui tend vers une fonction non continue (la limite vaut 0 sur [0, 1[ et 1 en 1 ). Or, une fonction polynômiale est continue !

  5. #4
    Eunomia

    Re : Espace non compact

    Merci beaucoup pour votre aide !!

  6. A voir en vidéo sur Futura

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