EV localement convexe.

[invite4ff70a1c]

Bonjour à tous.
Je vous prie de bien vouloir m'aider.
Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe défini par une famille de sous-normes P.Soit P' une famille de sous-normes sur X tel que:
i- p' est continue.
ii- .

1°)Si toutes boules ouvertes de semi-normes de P est une base de voisinage de 0 alors toutes boules fermées de semi-normes de P est une base de voisinage de O car les boules ouvertes sont contenues dans les boules fermées.V est une base de voisinage : ;il est clair
que V(x) est un filtre.On pose W=B(x,u) ,on a d'ou et on pose u<u' alors
d'ou B'(x;u') est une base de voisinage de 0.
2°)Là je n'ai aucune idée et je ne sais pas si la 1ere réponse est correcte.
Je suis largué,je vous prie de m'aider et surtout Merci.
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[invited73f5536]

Bonjour.

Où sont les questions ?

toutes boules fermées de semi-normes de P est une base de voisinage de O car les boules ouvertes sont contenues dans les boules fermées

Cette implication est fausse.

[invite4ff70a1c]

Bonjour.Merci d'avoir répondu.
Dans ma précipitation,j'ai mis ma réponse sans poser les questions.Je vous prie de m'excuser.
Montrer que
1°-l'ensemble des boules fermées des semi-normes de P' est une base de voisinage de O.
2°-si P' est dénombrable alors X est à base locale dénombrable.

Dans votre réponse vous me dites que l'implication est fausse et c'est vrai.Je ne vois pas comment faire ni là ni
à la 2eme question.

[invite4ff70a1c]

Quelqu'un peut m'aider svp ?

[A voir en vidéo sur Futura]