Définition d'une fonction mesurable

[invite50baf54d]

Bonsoir,

J'ai un peu de mal à mettre en pratique la définition d'une fonction mesurable.

Je la cite, histoire que l'on se comprenne:

Une fonction f: (X,T) -> (Y,Z), ou X et Y sont deux espaces quelconques et T et Z leurs tribus respectives.
f est mesurable si quelque soit A appartenant à Z, son image réciproque est un élément de T.

J'ai du mal à comprendre l'appartenance à T, car au final on sait que l'image réciproque de n'importe quel élément d'une tribu appartient à une tribu.

Cet incompréhension de ma part me trouble tout particulièrement quand, dans un exercice, on me demande de prouver q'une fonction est mesurable.
En effet, je procède de manière standard, je me donne un élément quelconque d'une tribu de l'espace de d'arrivé, mais après ça je me dis dans ma tête que de toute façon l'image réciproque de cet élément est nécessairement dans une tribu de l'espace de départ. (puisque ce que l'on appel image réciproque d'une tribu est une tribu)

Et donc je ne comprends pas trop quoi faire.

Cordialement,

ps: j'espère que vous comprendrez ce que je raconte.
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[inviteea028771]

J'ai du mal à comprendre l'appartenance à T, car au final on sait que l'image réciproque de n'importe quel élément d'une tribu appartient à une tribu.

Seulement si la fonction est mesurable.

Un exemple d'une fonction non mesurable :

Soit A = {0,1,2}
T1 la tribu triviale (A et l'ensemble vide)
T2 la tribu composée de l'ensemble des parties de A

Et f: (A,T1) -> (A,T2) tel que f(x) = x

Alors f n'est pas mesurable, car l'image réciproque de {1} (element de T2) n'est pas dans T1 (puisque ni A ni l'ensemble vide)

[invite50baf54d]

OK, j'ai bien compris votre exemple.

Mais une autre chose me dérange alors, dans mon cour d'intégration, on définit la notion de la tribu image réciproque, pour une fonction quelconque entre deux espaces mesurables, indépendamment de la notion de fonction mesurable.

Cordialement,

[gg0]

Il n'y a aucune raison que T soit la tribu image réciproque de Z par f.
Tu as d'ailleurs bien dit "pour une fonction quelconque entre deux espaces mesurables, indépendamment de la notion de fonction mesurable".

La notion de mesurable dépend donc fortement du choix des tribus.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50baf54d]

Donc qu'en on parle de fonction mesurable. On parle alors nécessairement d'une fonction mesurable entre deux espaces mesurables ou l'on connait les deux tribus misent en jeu?
(ce qui me dérange c'est que dans les exos des td que j'ai récupéré, il se donne des fonctions mesurables sans mentionner de tribus, du genre montrer que f est mesurable mais il n'y a aucune mention de tribus, peut-être est-ce une omission? )

Parce qu'au final se n'est pas trop difficile de rendre une fonction mesurable? (c'est même l'un de ces intérêts qui est de pouvoir intégrer beaucoup plus de fonctions via l'intégrale de Lebesgue)
Il suffit de se fixer une tribu de l'espace d'arriver (pour avoir la tribu image réciproque comme tribu de notre espace de départ)

Cordialement,

[gg0]

Pour les fonctions numériques, on utilise généralement la tribu de Borel. Et il y a même des caractérisations simples; tu dois avoir ça dans ton cours. Dans ce type de cas, on ne précise pas car il est rare d'utiliser d'autres tribus.

Cordialement.