Un petit exercice sur les densités....

[invitee4f42b33]

Bonjour,
Je cherche depuis un moment déjà la solution à un problème d'un de mes livres, mais dont la "correction" ne m'aide pas tellement...
En voici l'énoncé:

Soit f: R+ -> R+ une application strictement croissante telle que f(x+1)-f(x) tend vers 0 quand x tend vers + l'infini
Montrer que {f(n)-E(f(n))} est dense dans R
où E désigne bien entendu la partie entière.

Après avoir tourné en rond un bon moment, j'ai regardé les réponses qui ne m'ont pas aidés à comprendre vraiment la méthode à appliquer ici...
Voici les indications données:

On considère bêta et alpha dans [0,1] avec alpha < bêta
On pose epsilon= bêta - alpha.
Il existe x1 tel que pour x>=x1 on ait: 0< f(x+1)-f(x)<epsilon

Jusque là tout va bien, j'avais fait quelque chose du même genre. Toutefois je ne comprends pas pourquoi on s'embête ici à considérer alpha et bêta alors
qu'on ne s'en sert plus après... Autant posé epsilon dans [0,1] tout de suite, non?

La dernière indication de donnée est:
Il existe N1 entier naturel tel que N1 > f(x1)
Considérer les x tels que N1<f(x)<N1+1.

Je ne vois pas en quoi on peut affirmer que de tels x existent... On peut très bien imaginer que [N1,N1+1] ne contiennent aucun f(x)...
A moins qu'on le choisisse délibérément de sorte qu'il en contiennent... Ce qui semble envisageable.
Et pire, je ne vois pas malgré cette indication comment finir l'exercice, et ça m'agace de
tourner autour de cette indication sans trouver le chemin vers la fin....
Quelqu’un pourrait-il m'aider s'il vous plaît?
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[gg0]

Bonjour.

Il doit s'agir de "dense dans [0;1]" car f(n)-E(f(n)) ne prend pas de valeurs en dehors de [0,1[. Par contre, la considération de qui varie en croissant de 0 à 0,5 sur R+ semble contradictoire avec ton énoncé car ici, f(n)-E(f(n))=f(n) qui n'est même pas dense dans [0;0,5].

Cordialement.

NB : Ai-je oublié une condition ?

[invitee4f42b33]

Oui, j'ai effectivement commis une étourderie....
On doit prouver que c'est dense dans [0,1].

Si je ne me trompe pas, pour la fonction que tu proposes, on a bien la stricte croissance car f'(x) est du signe de exp(-x) soit strictement positif.
On f(x)-> 0.5 donc f(x+1) -> 0.5 quand x-> +l'infini d'où f(x+1)-f(x)->0
On a bien f:R+->R+ car exp(-x)>1 si et seulement si -x>0 soit x<0 donc pour x>=0 on a bien f(x)>=0.

Pourtant, mon livre n'indique pas d'autres hypothèses à faire, alors je ne sais pas....
L'énoncé serait erroné?

[gg0]

Il manque sans doute une hypothèse du genre f tend vers l'infini, ce qui expliquerait l'existence du x tel que f(x)>N1.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4f42b33]

Et en admettant cette hypothèse, comment pourrait-on terminer l'exercice?

[gg0]

Pas trop d'idée.

Juste une intuition :si epsilon est petit, la fonction va croître doucement, donc f(n) passer "près" de tout nombre compris entre N et N+1, donc f(n)-E(f(n)) passer près de tout nombre entre 0 et 1 (à 2 epsilon près). la croissance stricte doit être la clef.

Si tu peux transformer ça en une preuve rédigée ...

Je n'ai pas vu non plus le rôle de alpha et bêta.

Cordialement.

[invitee4f42b33]

D'accord merci pour votre aide.
Un autre problème ici du même livre at dont la correction me semble incomplete me pose problème. Il s'énonce ainsi:
Hypothèses:
Soit A,B,C et D quatre ensembles
A est inclus dans C
B est inclus dans D
L'intersection de C et D est non vide
A ou B=C ou D
Monter que: A=C et B=D


On me propose la correction suivante:
C=C et (C ou D)=C et (A ou B)=A ou (C et B) inclut dans A ou (C et D)
Jusque là je suis d'accord, mais pour conclure cette correction affirme que A ou (C et D) est inclut dans A
Ce qui permet effectivement de conclure, mais cette affirmation me semble un peu rapide.... si ce n'est magique!

Avez-vous une idée?
(Désolé, je ne sais pas faire les signes d'intersecion, de réunion et d'inclusion... )

[gg0]

Bonjour.

Je suppose qu'il faut lire :




A noter : Il vaut mieu écrire "union" que "ou" pour . Mais le mieux est d'utiliser LaTeX (Voir http://forums.futura-sciences.com/ma...-formules.html); tu peux aussi faire "répondre avec citation" sur ce message pour lire le LaTex, placé entre les balises TeX.

De ces hypothèses, tu ne peux pas déduire que A=C. Par exemple si
A={1,2,3}, C={1,2,3,4}, B={4,5,6}, D={3,4,5,6}
Les hypothèses sont satisfaites.

A moins que ce soit auquel cas il est évident que .

Cordialement.