Périmètre d'un triangle sphérique équilatéral

[moebius2]

Bonjour,

J'aimerai savoir comment connaître le périmètre d'un triangle sphérique équilatéral.

J'ai trouvé plusieurs formules sur internet mais elles font toutes intervenir la latitude et la longitude ou les angles au centre. Mais dans mon cas je n'ai pas ces données.

Mon problème est celui d'un navigateur qui estime son voyage à 6 jours et qui tous les 2 jours vire à tribord de 118°. Il décrit ainsi un triangle sphérique sur la Terre de 40 000 km de circonférence. Et on me demande le périmètre de ce triangle équilatéral.

Pouvez vous m'aider svp ?

Merci
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[joel_5632]

bonsoir

Je ne connais pas la trigonométrie sphérique, mais voici ce que j'ai trouvé sur wikipédia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigono...sph%C3%A9rique

Formule des cosinus: cos c = cos a *cos b + sin a *sin b *cos(gamma) (Voir la figure)

or ton triangle étant équilatéral a = b = c (ce sont des angles / au centre de la terre)
et gamma vaut 118°

je remplace a et b par c dans la formule des cosinus

cos c = cos c *cos c + sin c *sin c *cos(gamma)

cos c = (cos c)² + (sin c)² *cos(118°)

cos c = (cos c)² + (1-(cos c)²) *cos(118°)

résoudre l'équation du 2ème degré en (cos c):
cos c =
puis c = arccos(..)

ensuite la longueur entre les points A et B est R*c ou R est le rayon de la terre
puis x3 pour le périmètre du triangle

[joel_5632]

la relation duale est bien plus simple:

cos(gamma) = -cos(alpha)*cos(beta) + sin(alpha)*sin(beta)cos(c)

alpha = beta = gamma = 118°
on a immédiatement cos(c) =

[joel_5632]

et je trouve 36200 kms pour le périmètre

[A voir en vidéo sur Futura]

[moebius2]

C'était tout simple en fait, merci.

[moebius2]

En fait j'ai quand même un problème avec la fin du raisonnement.

Pour moi, le périmètre du triangle est 3c et vu que c est déjà la longueur (sphérique) d'un coté, je ne vois pas pourquoi multiplier encore par R.

Du coup, on n'utilise pas R...

[joel_5632]

non c est l'angle où O est le centre de la sphere

La longueur du coté correspondant, càd la distance entre A et B, vaut R*c

[moebius2]

Autant pour moi. Merci.