Question sur racines carrées et nombre d'or
Bonjour,
je fais appel à votre aide pour deux questions concernant les racines carrées et le nombre d'or (je m'excuse par avance si ces questions ont déjà été posées, je suis nouveau sur le forum...) :
1°) Auriez-vous s'il vous plaît l'algorithme qui est utilisé par les calculettes "standards" pour calculer les valeurs "exactes" des racines carrés ?
J'ai vu qu'il existe des méthodes comme celle d'Héron d'Alexandrie ou par des division mais je ne suis pas vraiment convaincu...
2°) Je suis en train de lire le livre de Matila C. Ghyka "Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts" (que je recommande) et une note p. 27 m'interroge. Voici ci-dessous une retranscription de cette note :
" La fraction décimale 1.618..., indéfinie comme nombre de chiffres puisque Phi est incommensurable, n'en est pas moins représentable par une longueur exacte, au moyen d'une construction géométrique très simple (comme nous l'avons vu plus haut), car Phi, quoi qu'incommensurable , appartient comme tous les nombres algébriques du second degré (racines d'une équation du second degré en x à coefficients entiers) à la catégorie des nombres qui peuvent se construire "euclidiennement" , c'est à dire rigoureusement au moyen de la règle et du compas. Les nombres algébriques de degré supérieur à 2 qui ne peuvent pas se mettre sous la forme d'une combinaison de radicaux carrés (c'est à dire la plupart d'entre eux) et les nombres transcendants (incommensurables aussi mais non algébriques) comme e ou Pi ne peuvent pas être figurés par une construction rigoureuse. "
Je suis assez étonné de la dernière phrase, en ce qui concerne Pi car si je prends une règle, que je trace un trait d'une unité de diamètre et que je trace un cercle, j'ai bien un cercle de périmètre valant Pi... à moins que l'auteur ne parle de la possibilité de construire un segment (avec règle et compas) qui ait pour longueur exacte Pi... ?
J'en profite d'ailleurs pour poser une autre question qui m'est venue à la suite de la lecture de ce paragraphe : qu'est ce qui "fait" qu'un nombre peut être représenté (avec règle et compas) et un autre non (comme pour une racine et Pi par exemple) à part l'appartenance à l'une des catégories pré-citées ? Dans ma vision (sans doute mal formée), Pi et une racine carrée présentent à priori un nombre infini de décimales...non ?
Il y aurait donc en quelque sorte la possibilité dans un cas de représenter "l'infini" par un segment fini (comme dans le cas d'une fractale ? ) et dans un autre cas, non ? Je suis perplexe...
Si quelqu'un pouvait me clarifier les idées s'il vous plaît !!!
Merci beaucoup pour votre aide, désolé si je dis des choses aberrantes mais je cherche à comprendre
A+,
Victor
-----
