racines carrées d'un nombre complexe [exercice]

[Joe l indien]

Bonjour,

Je suis des cours par correspondance de remise à niveau en maths (or cela fait près de 10 ans que j'ai terminé le lycée).

Dans mon programme, j'en suis arrivé aux nombres complexes et j'aimerais que quelqu'un puisse relire mon raisonnement ci-dessous pour la résolution d'un exercice car je sens que quelque chose "ne tourne pas rond"!

Voici l'exercice dont on me demande de calculer les racines carrées :



Voici ma résolution (en suivant la méthode enseignée dans mon cours) :

1)


donc

2)

En remplaçant la valeur "y" dans la première équation j'obtiens l'équation bicarrée suivante :

D'où

3)

Par conséquent,



J'arrête ici mon raisonnement en espérant que quelqu'un saura me relire et me dire si cela est correct ou faux. Le problème c'est que pour la suite, pour obtenir la valeur de x, je devrais faire la racine carrée de ce que je trouve "étrange" comme résultat. Y-a-t-il donc une faille dans mon raisonnement ?

Sinon, à considérer que mon raisonnement soit juste, y-a-t-il une manière de simplifier la racine carrée de ? (cela n'est pas expliqué dans mon cours et comme cela fait longtemps que je n'ai plus fait ce type d'exercices je ne sais plus comment on fait).

A vous lire.
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[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Ton raisonnement m'a l'air bon. A la fin, comme doit être positif, n'est tout simplement pas solution.

Autre chose, il faut prendre le soin de préciser au début pourquoi et ne peuvent pas être nuls, de façon à pouvoir écrire

Bon courage!

[Joe l indien]

Merci.

J'ai cependant un doute car si je continue j'obtiens un résultat qui me semble fort alembiqué :



alors

Vous voyez : j'ai une fraction avec la racine d'une racine ! En supposant que ma réponse soit correcte, comment puis-je simplifier l'écriture ? (je ne me souviens plus des règles).

[Joe l indien]

NB : désolé mais je parviens pas à écrire la "racine d'une racine" avec TEX donc sqrt3 est bien entendu à lire comme racine carrée de 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

Bonsoir. Est-ce que vous avez déjà vu la notation exponentielle des nombres complexes ? Ça vous simplifierai grandement la vie.
-√(3)+i=2(cos(5π/6) +isin(5π/6))=2exp(5iπ/6)

dont il est bien plus facile d'extraire les racines carrées.

[Joe l indien]

Bonsoir. Est-ce que vous avez déjà vu la notation exponentielle des nombres complexes ? Ça vous simplifierai grandement la vie.
-√(3)+i=2(cos(5π/6) +isin(5π/6))=2exp(5iπ/6)

dont il est bien plus facile d'extraire les racines carrées.

Hélas, pas encore !

Ceci dit, n'y-a-til pas une histoire d'inversion de la fraction ? Y a-t-il des fautes dans ce que j'ai écrit ?

[Joe l indien]

Je voudrais également apporter une autre précision : dans l'énoncé du devoir en question il est également écrit ceci : dans le calcul des racines carrées de il faut tenir compte de l'égalité suivante :

Or je n'ai à aucun moment obtenu un pareil résultat et donc je ne sai pas quoi faire de cette information ! C'est d'autant plus étrange que les gens ici me disent que mon raisonnement est correct !

[Plume d'Oeuf]

L'apparente complexité du résultat n'est pas gênante. La seule "simplification" que je verrais est:



Et comme le fait très justement remarquer S321, l'écriture exponentielle simplifie bien la vie!!

[Joe l indien]

L'apparente complexité du résultat n'est pas gênante. La seule "simplification" que je verrais est:



Et comme le fait très justement remarquer S321, l'écriture exponentielle simplifie bien la vie!!

ah voilà je crois que je touche à la solution.

pourriez-vous tenter de m'expliquer ce qu'il s'est passé entre mon écriture et la vôtre ? désolé mais je ne connais plus très bien les règles de distribution avec les racines (c'est même un peu frustrant quand on est proche de la solution mais qu'on a des lacunes aussi basiques)...

[sylvainc2]

Il y a juste un petit hic. La bonne réponse pour la partie réelle est
x=sqrt( 1-sqrt(3)/2 )

Il y a un signe négatif devant sqrt(3). Ta solution, quand on l'élève au carré, donne sqrt(3)+i alors qu'on demande la racine carrée de -sqrt(3)+i.

Je pense que ca vient du fait que, quand tu multiplies par 4x^2 pour obtenir l'équation bicarrée, ca introduit des solutions qui ne sont pas solution de l'équation originale.

Autre chose aussi: il y a 2 racines carrées, l'autre est -sqrt( 1-sqrt(3)/2 ) pour la partie réelle.

[Plume d'Oeuf]

Pas de problème.

J'ai simplement écrit :

[Joe l indien]

1) Quelqu'un sait-il ce qu'il faut faire des informations de l'énoncé lorsqu'il est dit qu'il faut tenir compte de l'égalité suivante :

En effet, je ne vois ni où, ni quand, ni comment intervient cette équation dans la résolution de l'exercice.

2) Il y a bien deux valeurs pour x. L'une vaut (d'après moi) Par contre l'autre vaut-elle ou ???

Sylvainc2, dans les réponses que tu me donnes il me semble que la place du 1 et des fractions est inversée dans quel cas je ne comprends (vraiment) plus rien du tout.

Finalement, je suis plus confus qu'au début : je suis juste ou pas ??!!

Que dois-je faire pour cloturer correctement l'exercice?

[Plume d'Oeuf]

Huhu oui oui oui!

Il y a juste un petit hic. La bonne réponse pour la partie réelle est
x=sqrt( 1-sqrt(3)/2 )

Il y a un signe négatif devant sqrt(3). Ta solution, quand on l'élève au carré, donne sqrt(3)+i alors qu'on demande la racine carrée de -sqrt(3)+i.

Je pense que ca vient du fait que, quand tu multiplies par 4x^2 pour obtenir l'équation bicarrée, ca introduit des solutions qui ne sont pas solution de l'équation originale.

En effet après avoir fait les calculs en détail, on trouve

ou

or donc ; la première solution est absurde.

Autre chose aussi: il y a 2 racines carrées, l'autre est -sqrt( 1-sqrt(3)/2 ) pour la partie réelle.

Il vient donc effectivement

Ce qui résout l'histoire du :

[sylvainc2]

Sylvainc2, dans les réponses que tu me donnes il me semble que la place du 1 et des fractions est inversée dans quel cas je ne comprends (vraiment) plus rien du tout.

C'est juste une petite erreur de signe que tu as faite. Dans la résolution de l'équation bicarrée, tu as écrit
t=x^2=(4 sqrt(3)+8)/8
mais c'est en fait
=(-4 sqrt(3)+8)/8
selon la formule quadratique

Puis pour l'information dans la question, ca permet de simplifier la solution car
sqrt(4-2 sqrt(3) ) = 2 sqrt( 1 - sqrt(3)/2 )
donc la partie réelle de la solution:
x=sqrt( 1 - sqrt(3)/2 )
peut se simplifier comme
x=(sqrt(3)-1)/2
et l'autre solution comme
x=-(sqrt(3)-1)/2

[Joe l indien]

C'est juste une petite erreur de signe que tu as faite. Dans la résolution de l'équation bicarrée, tu as écrit
t=x^2=(4 sqrt(3)+8)/8
mais c'est en fait
=(-4 sqrt(3)+8)/8
selon la formule quadratique

Puis pour l'information dans la question, ca permet de simplifier la solution car
sqrt(4-2 sqrt(3) ) = 2 sqrt( 1 - sqrt(3)/2 )
donc la partie réelle de la solution:
x=sqrt( 1 - sqrt(3)/2 )
peut se simplifier comme
x=(sqrt(3)-1)/2
et l'autre solution comme
x=-(sqrt(3)-1)/2

Hello,

ce que je ne comprends pas c'est pourquoi c'est (-4 sqrt(3)+8)/8 au lieu de (4 sqrt(3)+8)/8.

Quelle est la formule exacte qui détermine "t" ? Il faut dire que dans mon cours ça n'a jamais été expliqué et que donc j'ai tenté a posteriori avec les nombres des exercices corrigés de déterminer la formule pour "t". Il me semble que c'est : (b +/- sqrt delta)/2a ==> c'est peut-être là mon erreur ?

En suivant cette formule, j'obtiens 4sqrt3 (=b) + ou - 8 (=sqrt delta) sur 8 (=2 a). Donc bien que je conçois que tu aies raison, je ne vois pas par quel procédé logique je peux obtenir -4sqrt3 au début...

[Joe l indien]

Je vais tenter d'éclaircir mon post précédent.

1) J'aimerais vraiment connaître la formule qui permet de déterminer "t"

2) Comme je le disais au-dessus, vu que dans mon cours ils n'ont pas eu la présence d'esprit d'expliquer comment on obtient "t" par une formule, j'ai dû décrypter les exercices corrigés que j'avais et ainsi trouver le lien possible entre les chiffres utilisés dans le calcul de "t" lors des exercices.

3) D'après mon observation, tous les exercices du cours se basent exclusivement sur l'équation bicarrée pour déterminer "t". Ainsi, à titre d'exemple, dans mon cours l'énoncé : 1/2 + (sqrt3)i/2 donne l'équation bicarrée 16x^4 - 8x^2 - 3 = 0.

Dans cet exercice (et dans tous les autres), je remarque que la valeur de t est déterminé par : [ le coefficient de x^2 (en valeur absolue apparemment puisque il n'y a jamais de -) -/+ sqrt delta ] sur le coefficient de x^4 multiplié par 2.

C'est ce que j'appelais, dans mon post précédent la "formule" b +/- sqrt delta / 2.a

Par conséquent, dans l'exemple que j'ai donné, mon cours donne en valeur de t = 8-16/32 = 3/4

Donc, j'en reviens à mes moutons, pour l'exercice que je dois résoudre, en appliquant cette procédure (qui est celle donnée dans tous mes exercices) je ne parviens pas à (-4 sqrt(3)+8)/8 mais bien à (4 sqrt(3)+8)/8.

[Plume d'Oeuf]

Oui c'est bien la détermination des racines qui pose problème: il y a une erreur de signe dans ta formule, ce qui t'empêche de trouver les bonnes solutions pour t et donc pour x.

Pour un trinôme, de la forme:

(E) a,b,c réels

Le discriminant s'écrit bien:

.

Si , (E) admet deux solutions réelles

Si , (E) admet une solution réelle (dite double) (il suffit de remplacer par dans la formule au dessus).

Si , (E) admet deux solutions complexes ; cependant dans ce dernier cas il faut avoir vu les nombres complexes. Sans cela on admet que (E) n'a pas de solution réelle quand le discriminant est négatif.


Dans ton exercice, comme t=x^2, il faut absolument que t soit positif; c'est pourquoi on supprime une des deux solutions du trinôme qui est négative.

Ensuite, on détermine en écrivant .

Voili voilou, bon courage!

[Joe l indien]

Ha! merci beaucoup à toi Plume d'Oeuf !
Grâce à toi je détiens enfin la formule "magique" de t

C'est assez incroyable que cette formule hyper essentielle ait été négligée dans mon cours (cela m'aurait évité bien des frustrations).

Merci aussi sylvain pour m'avoir relu et pour avoir décelé l'erreur de raisonnement.

Je ne suis pas encore sorti de l'auberge, je vais dès à présent aller refaire l'exercice à l'aide de la "nouvelle" formule en espérant que j'obtiendrai votre résultat.

Encore un grand merci à vous.

[Joe l indien]

A l'aide de vos indications j'en suis presque à la fin.

J'aimerais cependant vraiment comprendre les opérations effectuées afin de simplifier l'écriture de x = +/- sqrt{1-sqrt{3}/2} car je n'ai plus vu cette matière depuis au moins 10 ans !

Quelqu'un aurait-il la patience de bien vouloir m'exposer les étapes de simplification et les règles appliquées ?

[Plume d'Oeuf]

Bien sûr:



Or d'après ton énoncé,

donc:

Bon courage!

[Joe l indien]

Bien sûr:



Or d'après ton énoncé,

donc:

Bon courage!

désolé de revenir à la charge mais je cale à partir de la 4ème opération (de la première ligne bien entendu) de ta réponse.

J'essaye de toutes les manières, je ne vois pas comment tu as extrait sqrt1/4 et comment le dénominateur /4 disparaît par la même occasion. Et ensuite je ne vois pas comment le sqrt1/4 disparait tandis que le dénomiteur passe à /2.

Saurais-tu tenter d'expliciter en français ce qu'il s'est passé de la 3ème à la 5ème opération ?!

[Plume d'Oeuf]

D'accord.

Il se trouve que la racine du produit est égale au produit des racines:


De même la racine du quotient est égale au quotient des racines:


De fait, on peut aussi très bien considérer le quotient comme un produit:


Avec tout cela ma précédente réponse devrait s'éclaircir

[Joe l indien]

D'accord.

Il se trouve que la racine du produit est égale au produit des racines:


De même la racine du quotient est égale au quotient des racines:


De fait, on peut aussi très bien considérer le quotient comme un produit:


Avec tout cela ma précédente réponse devrait s'éclaircir

ok merci